Przedziały liczbowe

Przedzia┼é liczbowy to podzbiór zbioru liczb rzeczywistych opisany zwykle za pomoc─ů nierówno┼Ťci.

 

  • Rozwa┼╝my zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{R} \;\;i\;\; -2 < x < 3 \} \)

 

W tym przypadku elementami zbioru s─ů liczby rzeczywiste, które s─ů wi─Öksze od -2 i jednocze┼Ťnie mniejsze od 3. Liczby -2 i 3 nie nale┼╝─ů do tego zbioru.

 

Nie jest mo┼╝liwe wypisanie kolejnych elementów tego zbioru, jak w przypadku liczb naturalnych lub ca┼ékowitych, ale mo┼╝emy zaznaczy─ç ten zbiór na osi liczbowej:

 

 

Ilustracja przedzia┼éu (-2,3) w którym -2 i 3 nie nale┼╝─ů do przedzia┼éu.

 

 

Poniewa┼╝ "liczby graniczne" -2 i 3 nie nale┼╝─ů do zbioru (przedzia┼éu) s─ů oznaczone kó┼ékami niezamalowanymi w ┼Ťrodku i uko┼Ťn─ů kresk─ů ko┼äcz─ůc─ů przedzia┼é.

 

Taki przedzia┼é nazywamy przedzia┼éem otwartym i zapisujemy \( x\in (-2, 3) \) - nawiasy okr─ůg┼ée oznaczaj─ů, ┼╝e ko┼äce przedzia┼éu (liczby -2 i 3) do niego nie nale┼╝─ů.

 

 

  • Rozwa┼╝my teraz zbiór \( B=\{x: x \in\mathbb{R} \;\;i\;\; -2 \leq x \leq 3 \} \)

 

W tym przypadku elementami zbioru s─ů liczby rzeczywiste, które s─ů wi─Öksze lub równe -2  (inaczej: nie mniejsze ni┼╝ -2) i jednocze┼Ťnie mniejsze lub równe 3 (inaczej: nie wi─Öksze ni┼╝ 3) . Liczby -2 i 3 nale┼╝─ů do tego zbioru.

 

Zaznaczymy ten zbiór na osi liczbowej:

 

 

Ilustracja przedzia┼éu <-2,3> w którym -2 i 3 nale┼╝─ů do przedzia┼éu.

 

 

 

Poniewa┼╝ "liczby graniczne" -2 i 3 nale┼╝─ů do zbioru (przedzia┼éu) s─ů oznaczone kó┼ékami zamalowanymi w ┼Ťrodku i pionow─ů kresk─ů ko┼äcz─ůc─ů przedzia┼é.

 

Taki przedzia┼é nazywamy przedzia┼éem domkni─Ötym i zapisujemy \( x\in <-2, 3> \) - zauwa┼╝my, ┼╝e tutaj nie ma ju┼╝ nawiasów okr─ůg┼éych.


Przykład 1

Polecenie:

Zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\; 3 < x \leq 7\} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedzia┼éu.
 
 
Rozwi─ůzanie:

Przedzia┼é (3,7> oznaczony na osi liczbowej. Text: 3<x<=7. Strza┼éki wskazuj─ůce na ko┼äce przedzia┼éu.

Przedział może być też jednostronnie domknięty.

\( x \in (3,7> \) - tutaj liczba 3 nie nale┼╝y do przedzia┼éu, wi─Öc nawias jest okr─ůg┼éy, za┼Ť liczba 7 nale┼╝y do przedzia┼éu i tutaj nawias jest ostry.

 

Taki przedzia┼é nazywa si─Ö prawostronnie domkni─Ötym (lub lewostronnie otwartym).

 

Przykład 2

Polecenie:

Zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\;x > 2 \} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedzia┼éu.
 
Rozwi─ůzanie:


Zauwa┼╝my, ┼╝e w zbiorze A znajduj─ů si─Ö wszystkie liczby rzeczywiste wi─Öksze od 2. Liczba 2 ogranicza zbiór A z lewej strony; z prawej strony zbiór jest nieograniczony. Wówczas u┼╝ywamy symbolu \( \infty \) (niesko┼äczono┼Ť─ç) oznaczaj─ůcego, ┼╝e nie mo┼╝na poda─ç liczby ograniczaj─ůcej przedzia┼é z prawej strony.

Przedzia┼é otwarty od 2 do niesko┼äczono┼Ťci narysowany na osi liczbowej. Text: 2<x.

Wówczas zapisujemy przedzia┼é w postaci: \( x \in(2,\infty) \) lub  \( x \in(2,+\infty) \)

 

W niektórych opracowaniach znak "+" przed symbolem |(\infty\) jest pomijany.

 

Taki przedzia┼é nazywa si─Ö przedzia┼éem lewostronnie otwartym nieograniczonym.

 

Przykład 3

Polecenie:


Zbiór \( B=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\;x \leq5 \} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedzia┼éu.

 

Rozwi─ůzanie:

 

Zauwa┼╝my, ┼╝e w zbiorze B znajduj─ů si─Ö wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od 5. Liczba 5 ogranicza zbiór A z prawej strony; z lewej strony zbiór jest nieograniczony. Wówczas u┼╝ywamy symbolu \( -\infty \) (minus niesko┼äczono┼Ť─ç) oznaczaj─ůcego, ┼╝e nie mo┼╝na poda─ç liczby ograniczaj─ůcej przedzia┼é z lewej strony.

Przedzia┼é zamkni─Öty od 5 do minus niesko┼äczono┼Ťci narysowany na osi liczbowej. Text: x<=5.

Wówczas zapisujemy przedzia┼é w postaci: \( x \in(-\infty, 5) \)

 

Taki przedział nazywa się przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym.

 

 
Przedzia┼é \( (- \infty, \infty) \) oznacza zbiór liczb rzeczywistych \((\mathbb{R})\)