Przedziały liczbowe

Przedział liczbowy to podzbiór zbioru liczb rzeczywistych opisany zwykle za pomocą nierówności.

 

  • Rozważmy zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{R} \;\;i\;\; -2 < x < 3 \} \)

 

W tym przypadku elementami zbioru są liczby rzeczywiste, które są większe od -2 i jednocześnie mniejsze od 3. Liczby -2 i 3 nie należą do tego zbioru.

 

Nie jest możliwe wypisanie kolejnych elementów tego zbioru, jak w przypadku liczb naturalnych lub całkowitych, ale możemy zaznaczyć ten zbiór na osi liczbowej:

 

 

Ilustracja przedziału (-2,3) w którym -2 i 3 nie należą do przedziału.

 

 

Ponieważ "liczby graniczne" -2 i 3 nie należą do zbioru (przedziału) są oznaczone kółkami niezamalowanymi w środku i ukośną kreską kończącą przedział.

 

Taki przedział nazywamy przedziałem otwartym i zapisujemy \( x\in (-2, 3) \) - nawiasy okrągłe oznaczają, że końce przedziału (liczby -2 i 3) do niego nie należą.

 

 

  • Rozważmy teraz zbiór \( B=\{x: x \in\mathbb{R} \;\;i\;\; -2 \leq x \leq 3 \} \)

 

W tym przypadku elementami zbioru są liczby rzeczywiste, które są większe lub równe -2  (inaczej: nie mniejsze niż -2) i jednocześnie mniejsze lub równe 3 (inaczej: nie większe niż 3) . Liczby -2 i 3 należą do tego zbioru.

 

Zaznaczymy ten zbiór na osi liczbowej:

 

 

Ilustracja przedziału <-2,3> w którym -2 i 3 należą do przedziału.

 

 

 

Ponieważ "liczby graniczne" -2 i 3 należą do zbioru (przedziału) są oznaczone kółkami zamalowanymi w środku i pionową kreską kończącą przedział.

 

Taki przedział nazywamy przedziałem domkniętym i zapisujemy \( x\in <-2, 3> \) - zauważmy, że tutaj nie ma już nawiasów okrągłych.


Przykład 1

Polecenie:

Zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\; 3 < x \leq 7\} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału.
 
 
Rozwiązanie:

Przedział (3,7> oznaczony na osi liczbowej. Text: 3<x<=7. Strzałki wskazujące na końce przedziału.

Przedział może być też jednostronnie domknięty.

\( x \in (3,7> \) - tutaj liczba 3 nie należy do przedziału, więc nawias jest okrągły, zaś liczba 7 należy do przedziału i tutaj nawias jest ostry.

 

Taki przedział nazywa się prawostronnie domkniętym (lub lewostronnie otwartym).

 

Przykład 2

Polecenie:

Zbiór \( A=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\;x > 2 \} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału.
 
Rozwiązanie:


Zauważmy, że w zbiorze A znajdują się wszystkie liczby rzeczywiste większe od 2. Liczba 2 ogranicza zbiór A z lewej strony; z prawej strony zbiór jest nieograniczony. Wówczas używamy symbolu \( \infty \) (nieskończoność) oznaczającego, że nie można podać liczby ograniczającej przedział z prawej strony.

Przedział otwarty od 2 do nieskończoności narysowany na osi liczbowej. Text: 2<x.

Wówczas zapisujemy przedział w postaci: \( x \in(2,\infty) \) lub  \( x \in(2,+\infty) \)

 

W niektórych opracowaniach znak "+" przed symbolem |(\infty\) jest pomijany.

 

Taki przedział nazywa się przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym.

 

Przykład 3

Polecenie:


Zbiór \( B=\{x: x \in\mathbb{A}\;\;i\;\;x \leq5 \} \) zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału.

 

Rozwiązanie:

 

Zauważmy, że w zbiorze B znajdują się wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od 5. Liczba 5 ogranicza zbiór A z prawej strony; z lewej strony zbiór jest nieograniczony. Wówczas używamy symbolu \( -\infty \) (minus nieskończoność) oznaczającego, że nie można podać liczby ograniczającej przedział z lewej strony.

Przedział zamknięty od 5 do minus nieskończoności narysowany na osi liczbowej. Text: x<=5.

Wówczas zapisujemy przedział w postaci: \( x \in(-\infty, 5) \)

 

Taki przedział nazywa się przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym.

 

 
Przedział \( (- \infty, \infty) \) oznacza zbiór liczb rzeczywistych \((\mathbb{R})\)