Działania na zbiorach

Podzbiór:

 

Rozwa┼╝my dwa zbiory:

 

\( A=\{0, 2, 4, 6, 8 \} \) oraz \( B=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)

 

Zauwa┼╝my, ┼╝e ka┼╝dy element zbioru A jest jednocze┼Ťnie elementem zbioru B.

Mówimy wówczas, ┼╝e zbiór A jest podzbiorem zbioru B (zapisujemy: \( A \subset B \))

 

Na diagramie zilustrujemy to nast─Öpuj─ůco:

 

Diagram pokazuj─ůcy ┼╝e zbiór A jest podzbiorem zbioru B.

 

Suma zbiorów:

 

Suma zbiorów to operacja, która tworzy nowy zbiór, zawieraj─ůcy wszystkie elementy z dwóch lub wi─Öcej danych zbiorów.

 

Na przyk┼éad, je┼Ťli mamy zbiór \(A = \{1, 2, 3\}\) i zbiór \(B = \{2, 3, 4\}\), to suma tych dwóch zbiorów - oznaczana przez \( A\cup B \) - daje nam nowy zbiór, który zawiera wszystkie unikalne elementy z obu zbiorów.

W tym przypadku suma zbiorów A i B b─Ödzie wynosi─ç  \( A\cup B =\{1, 2, 3, 4\}\)

 

Mo┼╝emy sobie to wyobrazi─ç jako po┼é─ůczenie zawarto┼Ťci obu zbiorów w celu utworzenia jednego wi─Ökszego zbioru, w którym nie ma powtórze┼ä. Suma zbiorów gwarantuje, ┼╝e ka┼╝dy element wyst─Öpuje tylko raz w wynikowym zbiorze, bez wzgl─Ödu na ilo┼Ť─ç razy, w której mo┼╝e si─Ö pojawi─ç w zbiorach ┼║ród┼éowych.

Przykład 1

Polecenie:

 

Dane s─ů zbiory. Wyznacz sum─Ö zbiorów.

\( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)

 

Rozwi─ůzanie:

 

Aby wyznaczy─ç sum─Ö zbiorów A i B wyznaczamy wszyskie elementu z obu zbiorów bez powtórze┼ä.

 \( A\cup B =\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)

 
 
Na diagramie zilustrujemy to nast─Öpuj─ůco:

Diagram pokazuj─ůcy sum─Ö zbiorów A i B.

 

 

Ró┼╝nica zbiorów:

 

Ró┼╝nica zbiorów to operacja matematyczna, która polega na usuni─Öciu elementów, które s─ů wspólne dla dwóch zbiorów. W innych s┼éowach, ró┼╝nica zbiorów to zbiór elementów, które wyst─Öpuj─ů w jednym zbiorze, ale nie wyst─Öpuj─ů w drugim zbiorze.

Przyjrzyjmy si─Ö prostemu przyk┼éadowi, aby to zobrazowa─ç. Za┼éó┼╝my, ┼╝e mamy dwa zbiory:

 

\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)

\(B = \{4, 5, 6, 7\}\)

 

Chcemy obliczy─ç ró┼╝nic─Ö zbiorów mi─Ödzy A i B. W tym przypadku, wynikiem ró┼╝nicy zbiorów A i B b─Ödzie zbiór elementów, które wyst─Öpuj─ů w A, ale nie wyst─Öpuj─ů w B.

Ró┼╝nica zbiorów mi─Ödzy A i B mo┼╝emy zapisa─ç jako A - B. W tym przypadku wynik b─Ödzie:

 

\(A - B = \{1, 2, 3\}\)

 

Zauwa┼╝, ┼╝e elementy 4 i 5, które s─ů wspólne dla obu zbiorów, zosta┼éy usuni─Öte z wyniku. Pozosta┼ée elementy 1, 2 i 3 s─ů elementami, które wyst─Öpuj─ů tylko w zbiorze A.

 

Ró┼╝nic─Ö zbiorów oznaczamy \( A - B \) (mo┼╝na spotka─ç równie┼╝ oznaczenie A \ B).

Przykład 2

Polecenie:

 

Dane s─ů zbiory. Wyznacz ró┼╝nic─Ö zbiorów:

\( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Wyznaczymy ró┼╝nic─Ö zbiorów A i B:

 \( A- B =\{0, 1, 2, 3, 4\}\)

 
Na diagramie zilustrujemy to nast─Öpuj─ůco:

Diagram ilustruj─ůcy ró┼╝nic─Ö zbiorów.

 

 

Przykład 3

Polecenie:

 

Dane s─ů zbiory \( A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \) oraz \( B=\{2, 3, 4\} \). Wyznacz  \( A - B \) i \( B - A \)

 

Rozwi─ůzanie:

 

\( A-B=\{-2, -1, 0 ,1 \} \) poniewa┼╝ tylko te elementy zostan─ů gdy zabierzemy wszyskie elementy powtarzaj─ůce si─Ö w obu zbiorach ze zbioru A.

 

Zbiór \( B-A \) nie zawiera ┼╝adnego elementu. Wszyskie elementy zbioru B s─ů w zbiorze A wi─Öc po odj─Öciu nie zostaje nic.

Taki zbiór nazywa si─Ö zbiorem pustym i oznaczamy go symbolem \(\varnothing\).


Mo┼╝emy wi─Öc zapisa─ç \( A-B=\varnothing \)

Iloczyn zbiorów:

 

Iloczyn zbiorów to operacja, która ┼é─ůczy dwa zbiory i zwraca nowy zbiór zawieraj─ůcy tylko te elementy, które wyst─Öpuj─ů jednocze┼Ťnie we wszystkich zbiorach. Innymi s┼éowy, iloczyn zbiorów zawiera tylko te elementy, które s─ů wspólne dla obu zbiorów.

 

Na przykład, rozważmy dwa zbiory:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

 

Iloczyn tych dwóch zbiorów jest zbiorem zawieraj─ůcym tylko te elementy, które znajduj─ů si─Ö jednocze┼Ťnie w zbiorze A i zbiorze B. W tym przypadku, iloczyn zbiorów A i B wynosi {3, 4}, poniewa┼╝ tylko liczby 3 i 4 wyst─Öpuj─ů w obu zbiorach.

 

Iloczyn zbiorów oznaczamy \( A \cap B \)

Przykład 4

Polecenie:

 

Dane s─ů zbiory: \( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)

Wyznacz iloczyn (cz─Ö┼Ť─ç wspóln─ů) zbiorów A i B.

 

Rozwi─ůzanie:

 

 \( A\cap B =\{5, 6, 7\}\)

Poniewa┼╝ tylko 5, 6, oraz 7 wyst─Öpuj─ů w obu zbiorach.

 
 
Na diagramie zilustrujemy to nast─Öpuj─ůco:

Diagram ilustruj─ůcy iloczyn zbiorów.