Działania na zbiorach
Podzbiór:
Rozważmy dwa zbiory:
\( A=\{0, 2, 4, 6, 8 \} \) oraz \( B=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Zauważmy, że każdy element zbioru A jest jednocześnie elementem zbioru B.
Mówimy wówczas, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (zapisujemy: \( A \subset B \))
Na diagramie zilustrujemy to następująco:
Suma zbiorów:
Suma zbiorów to operacja, która tworzy nowy zbiór, zawierający wszystkie elementy z dwóch lub więcej danych zbiorów.
Na przykład, jeśli mamy zbiór \(A = \{1, 2, 3\}\) i zbiór \(B = \{2, 3, 4\}\), to suma tych dwóch zbiorów - oznaczana przez \( A\cup B \) - daje nam nowy zbiór, który zawiera wszystkie unikalne elementy z obu zbiorów.
W tym przypadku suma zbiorów A i B będzie wynosić \( A\cup B =\{1, 2, 3, 4\}\).
Możemy sobie to wyobrazić jako połączenie zawartości obu zbiorów w celu utworzenia jednego większego zbioru, w którym nie ma powtórzeń. Suma zbiorów gwarantuje, że każdy element występuje tylko raz w wynikowym zbiorze, bez względu na ilość razy, w której może się pojawić w zbiorach źródłowych.
Przykład 1
Polecenie:
Dane są zbiory. Wyznacz sumę zbiorów.
\( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć sumę zbiorów A i B wyznaczamy wszyskie elementu z obu zbiorów bez powtórzeń.
\( A\cup B =\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów to operacja matematyczna, która polega na usunięciu elementów, które są wspólne dla dwóch zbiorów. W innych słowach, różnica zbiorów to zbiór elementów, które występują w jednym zbiorze, ale nie występują w drugim zbiorze.
Przyjrzyjmy się prostemu przykładowi, aby to zobrazować. Załóżmy, że mamy dwa zbiory:
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
\(B = \{4, 5, 6, 7\}\)
Chcemy obliczyć różnicę zbiorów między A i B. W tym przypadku, wynikiem różnicy zbiorów A i B będzie zbiór elementów, które występują w A, ale nie występują w B.
Różnica zbiorów między A i B możemy zapisać jako A - B. W tym przypadku wynik będzie:
\(A - B = \{1, 2, 3\}\)
Zauważ, że elementy 4 i 5, które są wspólne dla obu zbiorów, zostały usunięte z wyniku. Pozostałe elementy 1, 2 i 3 są elementami, które występują tylko w zbiorze A.
Różnicę zbiorów oznaczamy \( A - B \) (można spotkać również oznaczenie A \ B).
Przykład 2
Polecenie:
Dane są zbiory. Wyznacz różnicę zbiorów:
\( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Rozwiązanie:
Wyznaczymy różnicę zbiorów A i B:
\( A- B =\{0, 1, 2, 3, 4\}\)
Przykład 3
Polecenie:
Dane są zbiory \( A=\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \) oraz \( B=\{2, 3, 4\} \). Wyznacz \( A - B \) i \( B - A \)
Rozwiązanie:
\( A-B=\{-2, -1, 0 ,1 \} \) ponieważ tylko te elementy zostaną gdy zabierzemy wszyskie elementy powtarzające się w obu zbiorach ze zbioru A.
Zbiór \( B-A \) nie zawiera żadnego elementu. Wszyskie elementy zbioru B są w zbiorze A więc po odjęciu nie zostaje nic.
Taki zbiór nazywa się zbiorem pustym i oznaczamy go symbolem \(\varnothing\).
Możemy więc zapisać \( A-B=\varnothing \)
Iloczyn zbiorów:
Iloczyn zbiorów to operacja, która łączy dwa zbiory i zwraca nowy zbiór zawierający tylko te elementy, które występują jednocześnie we wszystkich zbiorach. Innymi słowy, iloczyn zbiorów zawiera tylko te elementy, które są wspólne dla obu zbiorów.
Na przykład, rozważmy dwa zbiory:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
Iloczyn tych dwóch zbiorów jest zbiorem zawierającym tylko te elementy, które znajdują się jednocześnie w zbiorze A i zbiorze B. W tym przypadku, iloczyn zbiorów A i B wynosi {3, 4}, ponieważ tylko liczby 3 i 4 występują w obu zbiorach.
Iloczyn zbiorów oznaczamy \( A \cap B \)
Przykład 4
Polecenie:
Dane są zbiory: \( A=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) oraz \( B=\{5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
Wyznacz iloczyn (część wspólną) zbiorów A i B.
Rozwiązanie:
\( A\cap B =\{5, 6, 7\}\)
Ponieważ tylko 5, 6, oraz 7 występują w obu zbiorach.
