Liczba rozwiązań układu równań

  • Układ oznaczony - ma dokładnie jedno rozwiązanie.

 

Interpretacją geometryczną oznaczonego układu równań są dwie proste przecinające się. Współrzędne punktu przecięcia są rozwiązaniami układu równań.

 

 

Rysunek poglądowy pokazujący przecinające się proste g i g. Oznaczony punkt przecięcia P(xp,yp).

 

 

  • Układ nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań

 

Interpretacją geometryczną nieoznaczonego układu równań są dwie proste pokrywające się. Współrzędne każdego punktu leżącego na prostej są rozwiązaniami układu równań.

 

 

Rysunek poglądowy pokazujący dwie proste pokrywające się.

 

 

  • Układ sprzeczny - nie ma rozwiązania

 

Interpretacją geometryczną sprzecznego układu równań są dwie proste równoległe.

 

 

Rysunek poglądowy pokazujący dwie proste równoległe.

 

Przykład 1

Polecenie:

 

Sprawdź, ile rozwiązań ma układ równań \( \left\{ \begin{array}{rcl} 2(x-3)=4-y \\ \frac{1}{2}(4x+2y)=5\;\;\;  \end{array}\right.\)

 

 

Wyjaśnienie:

 

Przekształcamy oba równania do najprostszej postaci:

 

\( \left\{ \begin{array}{rcl} 2x-6=4-y \\ 2x+y=5\;\;\;\;\;\;  \end{array}\right.\)

 

\( \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y=10 \\ 2x+y=5\;\;  \end{array}\right.\)

 

Łatwo zauważyć, że w obu równaniach ich lewe strony są takie same, a prawe się różnią. Świadczy to o tym, że układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).

 

Przykład 2

Polecenie:

 

Dany jest układ równań \( \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y=4 \;\;\;\\ ax+3y=12  \end{array}\right.\). 

 

 

Wyjaśnienie:

 

Określmy, dla jakiej wartości \(a\) układ równań jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

 

*W układzie nieoznaczonym oba równania muszą być identyczne

 

 

Tutaj patrzymy na zmienną \(y\); w pierwszym równaniu współczynnik jest równy 1, a w drugim 3. Pomnożymy pierwsze równanie przez 3, aby przy zmiennej y były takie same współczynniki.

 

 

 \( \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y=4 \;\;\;/ \cdot 3\\ ax+3y=12\;\;\;\;\;\;  \end{array}\right.\)

 

 \( \left\{ \begin{array}{rcl} 6x+3y=12 \\ ax+3y=12 \end{array}\right.\)

 

 

Aby oba równania były identyczne współczynnik \(a\) musi być równy 6.

 

Przykład 3

Polecenie:

 

Obwód prostokąta o bokach \(x\) i \(y\) wynosi 50 cm. Gdyby dłuższy bok skrócić o 3 cm, a krótszy zwiększyć o 4 cm, to otrzymalibyśmy kwadrat. Zapiszemy układ równań opisujący zależności między bokami tego prostokąta.

 

 

Wyjaśnienie:

 

Oznaczamy:

 

\(x\) - długość dłuższego boku

 

\(y\) - długość krótszego boku

 

 \( \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+2y=50 \\ x-3=y+4  \end{array}\right.\)

 

 

Powyższy układ równań możemy zapisać w prostszej postaci:

 

 \( \left\{ \begin{array}{rcl} x+y=25 \\ x-y=7\;\end{array}\right.\)