Rozwiązywanie równań
Jak rozwiązywać proste równania algebraiczne krok po kroku:
1. Zidentyfikuj zmienną: Spójrz na równanie i znajdź zmienną, dla której szukasz wartości. Zazwyczaj jest to litera "$x$", ale może to być dowolna inna litera lub symbol.
2. Ustal dziedzinę funkcji: Jeśli równanie zawiera zmienne w mianowniku (np. x w mianowniku ułamka), musisz ustalić dziedzinę funkcji. Wyklucz wartości, dla których mianownik jest równy zero, ponieważ jest to niedozwolone matematycznie. Na przykład, jeśli mamy równanie $(x + 2)/(x - 3) = 2$, to $x - 3 ≠ 0$, dlatego $x ≠ 3$. Więc nasza dziedzina to liczby rzeczywiste bez 3.
3. Zbierz wszystkie wyrazy zmiennych na jedną stronę: Jeśli równanie zawiera zmienne na obu stronach, przenieś wszystkie wyrazy zmiennych na jedną stronę równania. Na przykład, jeśli mamy równanie $3x + 2 = 6 + 2x$, odejmujemy 2 oraz $2x$ z obu stron, aby otrzymać $3x - 2x + 2 - 2 = 6 - 2 + 2x - 2x$, co upraszcza się do $x = 4$.
4. Wykonaj operacje matematyczne: Jeśli równanie zawiera operacje matematyczne, wykonaj je, aby uprościć równanie do postaci $x$ = wartość. Na przykład, jeśli mamy równanie $3x - 5 = 3 + 4$, dodaj 5 do obu stron: $3x - 5 + 5 = 3 + 4 + 5$, co upraszcza się do $3x = 12$, a następnie podziel obie strony przez 3, aby otrzymać $x = 4$.
5. Sprawdź rozwiązanie: W celu potwierdzenia poprawności rozwiązania, możesz podstawić otrzymaną wartość x do oryginalnego równania i sprawdzić, czy obie strony równania są równe. Na przykład, podstawiając $x = 4$ do równania $x + 2 = 6$, otrzymamy $4 + 2 = 6$, co jest prawdziwe.
Przykład 1
Polecenie:
Rozwiąż równanie \(\frac{3x-6}{x-4}=5\).
Wyjaśnienie:
Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania, tzn. określamy, dla jakich wartości wyrażenie \(\frac{3x-6}{x-4}\) ma sens liczbowy. Aby tak było mianownik nie może być równy 0:
\(x-4\neq0\)
\(x \neq4\) (Możemy również zapisać \(x\in \mathbb{R} - \{4\}\)).
Teraz rozwiązujemy równanie:
\(\frac{3x-6}{x-4}=5\;\;\;\; / \cdot (x-4)\)
\(3x-6=5(x-4)\)
\(3x-6=5x-20\)
\(3x-5x=-20+6\)
\(-2x=-14 \;\;\;\; /:(-2)\)
\(x=7 \in D\)
Odpowiedź:
\(x=7\)
Przykład 2
Polecenie:
Rozwiąż równanie \( (x-4)(x^2-9)(x^2+2)=0\).
Wyjaśnienie:
Jeżeli iloczyn kilku czynników jest równy 0, to znaczy, że jeden z czynników musi być równy 0. Otrzymujemy:
$x-4=0$
$x=4$
$x^2-9=0$
$x^2=9$
$x=3$ $\vee$ $x=-3$
$x^2+2=0$
$x^2=-2$ - sprzeczność
Odpowiedź:
\(x \in \{-3, 3, 4\}\).
Przykład 3
Polecenie:
Rozwiąż równanie \( \frac {x-3}{x}=\frac {x}{x+6}\).
Wyjaśnienie:
Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania (jak w przykładzie 1):
\(x \neq 0 \;\;\;\; \wedge \;\;\;\;x+6 \neq 0\)
\(x \neq 0 \;\;\;\; \wedge \;\;\;\;x \neq -6\)
Teraz korzystamy z własności proporcji, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych (tzw. "mnożenie na krzyż"):
\((x-3) \cdot (x-6)=x \cdot x \)
\(x^2-6x-3x+18=x^2\)
\(x^2 - 9x+18-x^2=0\)
\(-9x=18\;\;\;\; /:(-9)\)
\(x=-2 \in D\)
Odpowiedź:
\(x=-2\)
Przykład 4
Polecenie:
Rozwiąż równanie \( \frac{ x^2(x+3)}{x}=0 \).
Wyjaśnienie:
1. Wyznaczamy dziedzinę równania:
\(x \neq 0\)
2. Rozwiązujemy równanie:
\( \frac{ x^2(x+3)}{x}=0 \) - skracamy ułamek przez \(x\)
\( x(x+3) = 0\)
\(x=0 \;\; \notin D\;\;\; \vee \;\;\;\;x + 3 = 0\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=-3\)
Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest \(x = -3\).
WAŻNE: Zawsze po rozwiązaniu równania należy sprawdzić, czy rozwiązanie należy do dziedziny równania!