Równania z wartością bezwzględną

 

Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej (patrz temat: wartość bezwzględna) możemy zapisać, że:

 

  • Jeśli  \(|x|=a\), gdzie \(a > 0\), to \(x=a \; \vee\;x=-a\)

 

Oś liczbowa z zaznaczonymi punktami -a i a.

 

  • Jeśli \(|x|=a\) i \(a<0\), to równanie jest sprzeczne.
  • Jesli \(|x|=0\), to \(x=0\)

Przykład 1

Polecenie:
 
Rozwiąż równanie \(|x-2|=4\)

 
Wyjaśnienie:
 
Korzystając z powyższej własności otrzymujemy:


\(x-2=4\;\;\vee\;\;x-2=-4\)

 
Rozwiązujemy oba równania:


\(x=4+2\;\;\vee\;\;x=-4+2\)

\(x=6  \;\;\;\;\;\;\;\;\vee\;\;x=-2\)

Przykład 2

Polecenie:


Rozwiąż równanie \(|2x-1|=|x+5|\).

 

 

Wyjaśnienie krok po kroku:

 

 

Krok 1: Korzystamy z własności:

 

 

Jeśli \(|a| = |b|\), to \(a=b\; \vee\; a=-b\)  dla \(a,b \in \mathbb {R}\)
otrzymujemy:

\(2x-1=x+5\;\;\; \vee \;\;\; 2x-1=-(x+5)\)

 

Krok 2: Rozwiązujemy oba równania:

 


$2x-x=5+1$

 

$x=6$

 

 

$2x-1=-x-5$

 

$2x+x=-5+1$

 

$3x=-4\;\;/:3$

 

$x=-\frac{4}{3}$

 

 

Rozwiązanie:

 

\(x=6\;\;\; \vee\;\;\; x = -\frac{4}{3}\)

Przykład 3

Równanie \(|2x-5|=-4\)  - jest równaniem sprzecznym ( wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną)