Nierówności z wartością bezwzględną

 

Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej (patrz temat: wartość bezwzględna) możemy zapisać, że:

 

 

  • Jeśli  \(|x|<a\), gdzie \(a > 0\), to \(-a<x<a\).

Oś liczbowa z zaznaczonym przedziałem od -a nie wliczając do a nie wliczając.

 

 

W przypadku, gdy \(a\leq 0\), to nierówność jest sprzeczna (\(x \in \varnothing\)).

 

 

  •  Jeśli  \(|x| \leq a\), gdzie \(a \geq 0\), to \(-a \leq x \leq a\) (w przypadku \(a=0\) otrzymujemy \(|x|=0\)).

Oś liczbowa z zaznaczonym przedziałem od -a wliczając do a wliczając.

 
 
W przypadku, gdy \(a<0\), to nierówność jest sprzeczna ( \(x \in \varnothing\)).

 

  • Jeśli  \(|x|>a\), gdzie \(a \geq 0\), to \( x >a \;\;\vee \;\;x <- a\)
 
Oś liczbowa z zaznaczonymi przedziałami od minus nieskończoności do -a nie wliczając oraz od a nie wliczając do plus nieskończoności.

 
 
 
W przypadku, gdy \(a<0\), to nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą (\(x \in \mathbb{R}\)).
  • Jeśli  \(|x| \geq a\), gdzie \(a \geq 0\), to \( x \geq a \;\;\vee \;\;x \leq -a\) (w przypadku \(a=0\) otrzymujemy \(|x|=0\)).
 
Oś liczbowa z zaznaczonymi przedziałami od minus nieskończoności do -a wliczając oraz od a wliczając do plus nieskończoności.

 
 
W przypadku, gdy \(a<0\), to nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą (\(x \in \mathbb{R}\)).

 
 
W "Wybranych wzorach matematycznych na egzamin maturalny z matematyki" są zapisane wzory na wyznaczenie rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną (strona 4):

 
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a oraz r >=0 mamy. |x-a| <= r wtedy i tylko wtedy, gdy a-r <= x <= a+r, |x-a| >= r wtedy i tylko wtedy, gdy x <= a-r lub x >= a+r

Wzory są prawdziwe również dla nierówności ostrych (>, <).

Przykład 1

Polecenie:


Rozwiąż nierówność \(|2x-5|<1\)



I sposób


Nierówność zapisujemy bez znaku wartości bezwzględnej:



\(-1<2x-5<1\)

 

Nierówność podwójną zapisujemy w postaci układu dwóch nierówności:



$-1<2x-5$

 

$-1+5<2x$

 

$4<2x\;/:2$

 

$2<x$

 

 

$2x-5<1$

 

$2x<1+5$

 

$2x<6\;/:2$

 

$x<3$

 

 

Rozwiązanie zaznaczamy na osi liczbowej:

Oś liczbowa z zaznaczonymi dwoma przedziałami. Jeden od minus nieskończoności do 3 nie wliczając. Drugo od 2 nie wliczając do nieskończoności.

\(x \in (2, 3)\) 



II sposób (z wykorzystaniem gotowych wzorów)

 



Korzystamy z pierwszego wzoru:


|x-a|<=r wtedy i tylko wtedy, gdy a-r<=x<=a+r
\(|2x-5|<1\) - tutaj \(a=5\) i \(r=1\)

 

Otrzymujemy:


\(5-1<2x<5+1\)

\(4<2x<6\;\;/:2\)

\(2<x<3\)

 

Rozwiązanie zaznaczamy na osi liczbowej:

Oś liczbowa z zaznaczonymi dwoma przedziałami. Jeden od minus nieskończoności do 3 nie wliczając. Drugo od 2 nie wliczając do nieskończoności.

\(x \in (2, 3)\) 

Przykład 2

Polecenie:

Rozwiąż nierówność \(|3x-2| \geq 7\).



I sposób

 


Nierówność zapisujemy bez znaku wartości bezwzględnej:

 

\( 3x-2 \leq-7 \;\;\vee \;\;3x-2 \geq 7\)

 

 

Rozwiązujemy obie nierówności:

 

$3x \leq -7+2$

 

$3x \leq -5 /:3$

 

$x \leq -\frac{5}{3}$

 

 

$3x \geq 7+2$

 

$3x \geq 9\;\;/:3$

 

$x \geq 3$

 

Rozwiązania zaznaczamy na osi liczbowej:

przedział od minus nieskończoności do -5/3 włącznie oraz od 3 włącznie do nieskończoności.

\(x \in (- \infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, \infty)\) 

 

Uwaga: Przedziały domknięte możemy zaznaczać również za pomocą nawiasów kwadratowych.

 

 

II sposób (z wykorzystaniem gotowych wzorów)



Korzystamy z drugiego wzoru:


|x-a|<=r wtedy i tylko wtedy, gdy a-r<=x<=a+r
\(|3x-2| \geq 7\) - tutaj \(a=2\) i \(r=7\)

 

Otrzymujemy:

$3x \leq 2-7$ 

 

$3x \leq -5$

 

$3x \leq -5\;\; /:3$

 

$x \leq -\frac{5}{3}$

 

 

$3x \geq 2+7$

 

$3x \geq 9$

 

$3x \geq 9\;\;/:3$

 

$x \geq 3$ 

 

 

Rozwiązania zaznaczamy na osi liczbowej:

przedział od minus nieskończoności do -5/3 włącznie oraz od 3 włącznie do nieskończoności.

\(x \in (- \infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, \infty)\)