Przesuwanie wykresu w górę lub w dół

Przesunięcie w górę:

 

Wykres funkcji \(g(x)=f(x) + q\), gdzie \(q>0\) otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji \(f(x)\) o \(q\) jednostek w górę wzdłuż osi OY.

 

 

Funkcja złożona z dwóch funkcji. Pierwsza od (-4,-2) nie wliczając do (2,4). Druga od (2,4) do (4,2) wliczając. Pokazane przesunięcie funkcji w osi y o 3. g(x) = f(x) + 3.

 

Zauważmy, że przy przesunięciu wykresu funkcji w górę dziedzina funkcji pozostaje bez zmian, zmienia się natomiast zbiór wartości funkcji (również "przesuwa się" w górę).

 

W powyższym przykładzie dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \((-4, 4]\), a zbiór wartości jest równy \((-2, 4]\).

 

Po przesunięciu wykresu dziedziną funkcji \(g\) jest nadal zbiór \((-4, 4]\), natomiast zbiór wartości jest równy  \((-2+3, 4+3]=(1, 7]\).

 

 

Przesunięcie w dół:

 

Wykres funkcji \(g(x)=f(x) - q\), gdzie \(q>0\) otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji \(f(x)\) o \(q\) jednostek w dół wzdłuż osi OY.

 

 

Funkcja złożona z dwóch funkcji. Pierwsza od (-4,-2) nie wliczając do (2,4). Druga od (2,4) do (4,2) wliczając. Pokazane przesunięcie funkcji w osi y o -2. g(x) = f(x) - 2.

 

 

Zauważmy, że przy przesunięciu wykresu funkcji w dół dziedzina funkcji pozostaje bez zmian, zmienia się natomiast zbiór wartości funkcji (również "przesuwa się" w dół).

 

W powyższym przykładzie dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \((-4, 4]\), a zbiór wartości jest równy \((-2, 4]\).

 

Po przesunięciu wykresu dziedziną funkcji \(g\) jest nadal zbiór \((-4, 4]\), natomiast zbiór wartości jest równy  \((-2-2, 4-2]=(-4, 2]\).

Przykład 1

Dany jest wykres funkcji \(f\).

 

 

Widoczny fragment funkcji złożonej z dwóch funkcji liniowych.

 

 

Naszkicujemy wykres funkcji \(g(x) = f(x)+2\). Określimy dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f\) i funkcji \(g\).

Ponieważ \(g(x) = f(x)+2\), więc wykres funkcji \(g\) otrzymamy przesuwając wykres funkcji \(f\)  o 2 jednostki w górę.

 

 

Przesunięcie funkcji w osi y o 2: f(x)+2.

 

 

\(D_{f}=D_{g}=(-\infty,\;5]\)

 

\(Z_{wf}=(-\infty,\;1]\), zaś \(Z_{wg}=(-\infty,\;1+2]=(-\infty,\;3]\)

 

Przykład 2

Polecenie:

 

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \([-4, \;5)\), a zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór \((0,\;6)\). Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(g(x)=f(x)-4\).

 

Wyjaśnienie:

 

Wykres funkcji \(g\) otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o 4 jednostki w dół. Dziedzina funkcji \(g\) będzie taka sama, jak dziedzina funkcji \(f\), natomiast zbiór wartości funkcji \(g\) "przesunie się" o 4 jednostki w dół:

 

\(D_{g} =[-4, \;5)\)

 

\(Z_{wg}=(0-4,\;6-4)=(-4,\;2)\).