Sposoby rozwiązywania zadań
Obliczenia procentowe możemy wykonywać różnymi sposobami w zależności od typu zadania i posiadanych umiejętności.
Zadanie:
Cenę towaru wynoszącą 250 zł podwyższono o 15%, a po trzech miesiącach obniżono o 15%. Ile wynosi cena towaru po tych zmianach?
I sposób
Wiadomo, że cenę podwyższono o 15% ceny początkowej, obliczmy najpierw, o ile złotych podwyższono cenę towaru.
Obliczając procent danej wielkości mnożymy procent (zapisując go w postaci ułamka) przez tę wielkość.
Obliczamy 15% z 250 zł:
\( 0,15\cdot 250=37,50 \) - o tyle złotych podwyższono cenę.
Po podwyżce cena towaru wynosi \(250+37,50=287,50 (zł)\)
Teraz obliczamy 15% z 287,50 zł (o tyle procent obniżono cenę).
\(0,15 \cdot 287,50 =43,125 (zł)\) - o tyle złotych obniżono cenę.
Po obniżce cena towaru wynosi \(287,50 - 43,125 = 244,375 \approx 244,38 (zł)\) - jeśli wykonujemy obliczenia dotyczące pieniędzy, to wynik zawsze zaokrąglamy do dwóch cyfr po przecinku.
II sposób
Możemy skrócić obliczenia pamiętając, że cena początkowa to 100%. Jeśli cena wzrośnie o 15%, to będzie ona stanowić 115% ceny początkowej.
Możemy obliczyć od razu cenę po podwyżce:
\(1,15 \cdot250 = 287,50 (zł)\)
Teraz nasza cena początkowa to \(287,50 (zł)\) i obniżamy ją o 15%, więc będzie stanowić 85% ceny początkowej (tzn. ceny po podwyżce).
\(0,85 \cdot 287,50 = 244,375 \approx 244,38 (zł)\) - cena towaru po zmianach.
Możemy jeszcze skrócić obliczenia łącząc wszystkie obliczenia w jeden zapis:
Obliczamy cenę towaru po podwyżce: \(1,15 \cdot 250\).
Obliczamy cenę towaru po obniżce: \(0,85 \cdot (1,15 \cdot 250) = 244,375 \approx 244,38 (zł) \).
*To zadanie można rozwiązać stosując własności proporcji i tzw. "mnożenie na krzyż", ale w przeważającej większości zadań maturalnych nie jest to metoda efektywna, więc jej nie omawiamy.
Przykład 1
Polecenie:
Po dwukrotnej podwyżce o 20% towar kosztuje 331,20 zł. Oblicz cenę tego towaru przed podwyżkami.
Rozwiązanie:
Oznaczamy przez \(x\) cenę towaru przed podwyżkami.
Cena początkowa to 100%. Jeżeli podwyższymy cenę towaru o 20%, to jego cena będzie stanowić 120% ceny początkowej.
Cena towaru po pierwszej podwyżce: \(1,20 \cdot x =1,2x\).
Teraz nasza cena początkowa to \(1,2x\). Tę cenę znowu zwiększamy o 20% i teraz będzie ona stanowić 120% ceny \(1,2x\).
Otrzymujemy \(1,20 \cdot 1,2x=1,44x\).
Ponieważ cena po dwóch podwyżkach wynosi 331,20 zł, wykonujemy równanie:
\(1,44x=331,20\;\;\;\;\;/:1,44\)
\(x=230\; zł \)
Przykład 2
Polecenie:
Liczba \(a\) jest o 20% większa od liczby \(b\). Oblicz, jakim procentem liczby \(a\) jest liczba \(b\).
Rozwiązanie:
Jeśli liczba \(a\) jest większa o 20% od liczby \(b\), to oznacza, że liczba \(a\) stanowi 120% liczby \(b\).
Otrzymujemy:
\(a=1,2b\) - z tego równania wyznaczymy b
\(a = \frac{6}{5}b\;\;\;\; / \cdot \frac {5}{6}\)
\( \frac{5}{6}a = b\)
Teraz wystarczy ułamek \( \frac{5}{6} \) zamienić na procent.
\(b=\frac{5}{6} \cdot 100 \% a= \frac{250}{3} \%a \approx 83 \%a \).
Przykład 3
Polecenie:
Oblicz, o ile procent wzrosło pole kwadratu, którego długości boków zwiększono o 10%.
Rozwiązanie:
Wprowadzamy oznaczenia:
\(a\) - długość boku kwadratu przed zmianą długości boku
\(P=a^2\) - pole kwadratu przed zmianą długości boku
Jeśli bok kwadratu wydłużymy o 10%, będzie on stanowić 110% długości początkowej.
Zatem \(1,1a\) - długość wydłużonego boku
\(P=(1,1a)^2 = 1,21a^2\) - pole kwadratu z wydłużonymi bokami
Obliczymy różnicę pól kwadratów i zamienimy ułamek na procent:
\(1,21a^2 - a^2=0,21a^2 \cdot 100\%=21\% a^2\)
Pole wzrośnie o 21%.