Potęga o wykładniku wymiernym
Jeśli \( a \neq 0 \) i \( n \in \mathbb{N} \), \( m \in \mathbb{Z} \), to
\( a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n} \), co również możemy zapisać: \( a^{\frac{n}{m}}=(\sqrt[m]a)^n \).
Nie ma znaczenia, czy najpierw obliczymy pierwiastek i wynik podniesiemy do potęgi, czy odwrotnie: najpierw podniesiemy liczbę podpierwiastkową do potęgi, a potem obliczymy pierwiastek. Kolejność wykonania zależy od rodzaju działania i przyzwyczajeń rozwiązującego.
Warto zapamiętać:
\( a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} \)
oraz
\(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]a \)
Przykład 1
\( 4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt4)^5=2^5=32 \) - tutaj wygodnie jest najpierw obliczyć \(\sqrt4 \), a potem wynik podnieść do potęgi 5.
Gdybyśmy wykonywali działania w odwrotnej kolejności otrzymalibyśmy:
\( 4^{\frac{5}{2}} = \sqrt4^5=\sqrt{1024}=32 \) - widać, że w tym przypadku obliczenia są czasochłonne i nie zawsze możemy wykonać je w pamięci.
Przykład 2
Liczbę \( \sqrt[3]{81} \) zapiszemy jako potęgę liczby 3.
\( \sqrt[3]{81} =\sqrt[3]{3^4}=3^{\frac{4}{3}} \)