Działania na potęgach

Dla dowolnych liczb \( a>0 \), \( b>0 \) oraz \( x \in \mathbb{R} \),  \(y \in \mathbb{R} \) prawdziwe są własności:

1.Mnożenie potęg o tej samej podstawie: 

\( a^x \cdot{a^y}=a^{x+y} \)

Przykład: \( 2^3 \cdot{2^4}=2^{3+4}=2^{7} \)

2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie:

\( \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \) (zapis równoważny: \( a^x:{a^y}=a^{x-y} \))

Przykład: \( \frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^{2} \)

3. Potęgowanie potęgi:

\( (a^x)^y=a^{x\cdot{y}} \)

Przykład: \( (2^3)^4=2^{3\cdot{4}}=2^{12} \)

4. Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach:

\( a^x \cdot{b^x}={(ab)}^x \)

Przykład: \( 2^5 \cdot{3^5}={(2 \cdot{3})}^5={6}^5 \)

5. Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach:

\( \frac{a^x}{b^x}={(\frac{a}{b})}^x \) (zapis równoważny \( a^x:{b^x}={(a:b)}^x \)

Przykład: \( \frac{4^3}{2^3}={(\frac{4}{2})}^3={2}^3 \)