Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znakiem pierwiastka jest jednym ze sposobów upraszczania wyrażeń matematycznych i polega na wydobyciu czynnika, który ma potęgę mieszczącą się pod pierwiastkiem.

Aby to zrobić, musisz zrozumieć kilka podstawowych zasad:

 

1. Pierwiastek to operacja odwrotna do potęgowania. Często stosujemy pierwiastek kwadratowy, oznaczany symbolem $\sqrt{\phantom{a}}$, ale możemy również używać pierwiastków trzeciego, czwartego itd.

2. Jeśli mamy mnożenie dwóch czynników pod pierwiastkiem, możemy je rozdzielić na dwa pierwiastki. Na przykład: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

3. Jeśli mamy potęgę liczby pod pierwiastkiem, możemy tę potęgę przenieść na zewnątrz pierwiastka. Na przykład: $\sqrt{a^2} = a$.

 

Teraz, aby zastosować te zasady przy wyłączaniu czynnika przed znakiem pierwiastka, postępujemy według poniższych kroków:

 

1. Sprawdź, czy liczby lub wyrażenia pod pierwiastkiem można zapisać jako iloczyn czynników. Jeśli tak, możemy rozdzielić pierwiastki, aby wyeliminować ten czynnik.

2. Sprawdź, czy mamy potęgę liczby pod pierwiastkiem. Jeśli tak, przenieś potęgę na zewnątrz.

3. Powtarzaj te kroki, aż nie będzie możliwe dalsze uproszczenie.

 

Oto prosty przykład działania wyłączania czynnika przed znakiem pierwiastka:

 

Przykład: $\sqrt{12}$

 

Krok 1:
12 możemy zapisać jako iloczyn liczb 4 i 3, czyli $12 = 4 \cdot 3$.
Możemy więc zapisać to jako $\sqrt{4 \cdot 3}$.

 

Krok 2:
Widzimy, że 4 można przedstawić jako potęgę 2, więc możemy przenieść potęgę na zewnątrz: $\sqrt{2^2 \cdot 3}$.
Teraz możemy to zapisać jako $2 \cdot \sqrt{3}$.

 

I to już koniec. Ostatecznym wynikiem jest $2 \cdot \sqrt{3}$.

 

To była podstawowa metoda wyłączania czynnika przed znakiem pierwiastka. W bardziej zaawansowanych przypadkach, takich jak pierwiastki n-tego stopnia, proces może być bardziej skomplikowany, ale podstawowe zasady pozostają takie same.

 

Zapamiętaj!

Wynik zawsze zapisujemy w najprostszej postaci - usuwamy niewymierność z mianownika, wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.

Przykład 1

Polecenie:

 

Liczbę \( \sqrt8 \) zapisz w prostszej postaci:

 

 

Rozwiązanie krok po kroku:


Krok 1:
Najpierw zapiszemy liczbę 8 w postaci mnożenia takich liczb, aby przynajmniej z jednej można było policzyć pierwiastek (jeden z czynników musi być kwadratem liczby naturalnej).

\( \sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot2}\)

Krok 2: Teraz korzystamy z własności mnożenia pierwiastków tego samego stopnia:

\(\sqrt{4 \cdot2}=\sqrt4 \cdot\sqrt2=2 \cdot\sqrt2=2\sqrt2 \)

 

*Czynność tę nazywamy wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka

 

Przy wyłączaniu czynnika przed znak pierwiastka możemy również korzystać z rozkładu liczby na czynniki pierwsze:

\( \sqrt{8}=\sqrt{2 \cdot2\cdot2}=\sqrt{2^2\cdot2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2=2\sqrt2\)

Przykład 2

Polecenie:
 
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka \( \sqrt{108} \)


I sposób
\( \sqrt{108}=\sqrt{36 \cdot3}=\sqrt{36} \cdot\sqrt{3}=6\sqrt{3} \)

 
 
 
 
II sposób
 
 
\( \sqrt{108}=\sqrt{2 \cdot 2 \cdot3 \cdot 3\cdot 3 }=\sqrt{2^2 \cdot3^2 \cdot3}=\sqrt{2^2} \cdot\sqrt{3^2} \cdot\sqrt3=2 \cdot3 \cdot\sqrt3=6\sqrt3 \)
 

Przykład 3

Polecenie:

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka \( \sqrt[3]{72} \)

 
I sposób
 
Liczbę 72 zapisujemy w postaci takiego iloczynu, aby jeden z czynników był sześcianem liczby naturalnej.

\( \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{8 \cdot9}=\sqrt[3]8 \cdot\sqrt[3]{9}=2\sqrt[3]9 \)

 
 
 
 
II sposób
 
\( \sqrt[3]{72}=\sqrt[3]{2 \cdot2 \cdot2 \cdot 3 \cdot3}=\sqrt[3]{2^ 3 \cdot3^2}=\sqrt[3]{2^3} \cdot\sqrt[3]{3^2}=2\sqrt[3]9 \)

 
*Nie musimy szczegółowo zapisywać wszystkich obliczeń - możemy wykonywać je w pamięci