Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej a nazywamy taką nieujemną liczbę b, dla której \( b^2=a \), co zapisujemy:

 

Ilustracja pokazująca niebieskim kolorem, że czynnik pod pierwiastkiem to liczba podpierwiastkowa.

 

Obliczanie pierwiastków kwadratowych polega w zasadzie na szukaniu liczb, które podniesione do kwadratu dają liczbę podpierwiastkową.

Przykład 1

\( \sqrt{9}=3 \), ponieważ \( 3^2=9 \)

Przykład 2

\( \sqrt{1024} = 32 \), ponieważ \( 32^2=1024 \)

Przykład 3

\( \sqrt{8}=? \)

 

 

Rozwiązanie:

 

I tutaj pojawia się pewien problem, ponieważ nie ma takiej liczby naturalnej, która podniesiona do kwadratu daje w wyniku 8.

W takich przypadkach możemy oszacować (podać wartość przybliżoną) pierwiastka:

 

Ponieważ \( 2^2=4 \)  oraz \(3^2=9 \) 

więc \( 2<\sqrt{8}<3 \)

 

A zatem nasz pierwiastek przyjmuje wartość między 2 i 3 (jest liczbą z przedziału (2, 3))

Ponieważ \( 2,8^2=7,84 \)  oraz \( 2,9^2=8,41 \) 

więc \( 2,8<\sqrt{8}<2,9 \)

 

A zatem nasz pierwiastek jest liczbą z przedziału (2,8 , 2,9)

Możemy zapisać, że \( \sqrt{8} \approx 2,8 \). Częściej jednak pozostawiamy symbol pierwiastka i do obliczeń używamy postaci \( \sqrt{8} \)

Prowadząc dalej podobne rozumowanie możemy wyznaczyć wartość pierwiastka z dowolnym przybliżeniem, jednak zawsze będzie to tylko przybliżenie - dokładnej wartości nie uda nam się wyznaczyć.

 

Pierwiastki, które nie są liczbami naturalnymi są liczbami niewymiernymi.