Działania na pierwiastkach

Każdy pierwiastek możemy zapisać w postaci potęgi o wykładniku wymiernym, stąd działania na pierwiastkach są ściśle związane z działaniami na potęgach

Dla  \( a \geq 0 \), \( b \geq 0 \) oraz \( x \in \mathbb{R} \),  \(y \in \mathbb{R} \) prawdziwe są własności:

 

1. Mnożenie pierwiastków tego samego stopnia

 

\( \sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n] {ab} \)

 

Przykład: \( \sqrt[2]{3} \cdot\sqrt[2]{4}=\sqrt[2] {3 \cdot 4} =\sqrt[2] {12} \)

 

 

2. Dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

 

\( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \), \( b \neq0 \)  (zapis równoważny: \( \sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a :b} \))

 

Przykład: \( \frac{\sqrt[2]{4}}{\sqrt[2]{2}}=\sqrt[2]{\frac{4}{2}}=\sqrt[2]{2} \)

 

 

3. Pierwiastkowanie pierwiastka

 

\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a} \)

 

Przykład: \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{5}}=\sqrt[3 \cdot 2]{5}=\sqrt[6]{5} \)

Przykład 1

Polecenie:


Oblicz wartość wyrażenia \( \sqrt[3]{5\frac{1}{3}} \cdot\sqrt[3]{1\frac{1}2} \).

 

Wyjaśnienie:


Korzystamy z własności mnożenia pierwiastków tego samego stopnia:


\( \sqrt[3]{5\frac{1}{3} \cdot1\frac{1}{2}} \)

 Wykonujemy działania pod znakiem pierwiastka:

\( \sqrt[3]{\frac{16}{3} \cdot\frac{3}{2}}= \sqrt[3]{8}=2 \)

Przykład 2

Polecenie:

 

Oblicz wartość wyrażenia \( \sqrt{(-\sqrt{2})^4} \)

 

Wyjaśnienie:

 

Najpierw obliczymy \( (-\sqrt2)^4 \)

 

Wykładnik jest parzysty, a więc wynik będzie dodatni:


(- pierwiastek z 2) do potęgi 4 = pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2 * pierwiastek z 2 = 2 * 2 = 4.

\( \sqrt{(-\sqrt2)^4}=\sqrt{4}=2 \)

Przykład 3

Polecenie:


Oblicz wartość wyrażenia \( \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}} \)

 

Wyjaśnienie:

 

Korzystamy z własności dzielenia pierwiastków tego samego stopnia:

\( \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{81}{3}}=\sqrt[3]{27}=3 \)

Przykład 4

Polecenie:


Oblicz wartość wyrażenia \( \sqrt{56} \cdot\sqrt{14} \)

 

Wyjaśnienie:

 

Korzystamy z własności mnożenia pierwiastków tego samego stopnia:

\( \sqrt{56} \cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot{14}} \)

Teraz możemy skorzystać z kalkulatora, ale możemy tez obie liczby rozłożyć na takie czynniki, aby łatwo obliczyć pierwiastek:

\(\sqrt{56\cdot{14}}=\sqrt{7\cdot8\cdot7\cdot2}=\sqrt{49\cdot16} =\sqrt{49}\cdot\sqrt{16}=7\cdot4={28}\)

 

*Ta metoda ma zastosowanie przy wyznaczaniu pierwiastków trzeciego stopnia, ale warto przećwiczyć ją na pierwiastkach kwadratowych.