Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej a nazywamy tak─ů nieujemn─ů liczb─Ö b, dla której \( b^2=a \), co zapisujemy:

 

Ilustracja pokazuj─ůca niebieskim kolorem, ┼╝e czynnik pod pierwiastkiem to liczba podpierwiastkowa.

 

Obliczanie pierwiastków kwadratowych polega w zasadzie na szukaniu liczb, które podniesione do kwadratu daj─ů liczb─Ö podpierwiastkow─ů.

Przykład 1

\( \sqrt{9}=3 \), poniewa┼╝ \( 3^2=9 \)

Przykład 2

\( \sqrt{1024} = 32 \), poniewa┼╝ \( 32^2=1024 \)

Przykład 3

\( \sqrt{8}=? \)

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

I tutaj pojawia si─Ö pewien problem, poniewa┼╝ nie ma takiej liczby naturalnej, która podniesiona do kwadratu daje w wyniku 8.

W takich przypadkach mo┼╝emy oszacowa─ç (poda─ç warto┼Ť─ç przybli┼╝on─ů) pierwiastka:

 

Poniewa┼╝ \( 2^2=4 \)  oraz \(3^2=9 \) 

wi─Öc \( 2<\sqrt{8}<3 \)

 

A zatem nasz pierwiastek przyjmuje warto┼Ť─ç mi─Ödzy 2 i 3 (jest liczb─ů z przedzia┼éu (2, 3))

Poniewa┼╝ \( 2,8^2=7,84 \)  oraz \( 2,9^2=8,41 \) 

wi─Öc \( 2,8<\sqrt{8}<2,9 \)

 

A zatem nasz pierwiastek jest liczb─ů z przedzia┼éu (2,8 , 2,9)

Mo┼╝emy zapisa─ç, ┼╝e \( \sqrt{8} \approx 2,8 \). Cz─Ö┼Ťciej jednak pozostawiamy symbol pierwiastka i do oblicze┼ä u┼╝ywamy postaci \( \sqrt{8} \)

Prowadz─ůc dalej podobne rozumowanie mo┼╝emy wyznaczy─ç warto┼Ť─ç pierwiastka z dowolnym przybli┼╝eniem, jednak zawsze b─Ödzie to tylko przybli┼╝enie - dok┼éadnej warto┼Ťci nie uda nam si─Ö wyznaczy─ç.

 

Pierwiastki, które nie s─ů liczbami naturalnymi s─ů liczbami niewymiernymi.