Rozwiązywanie nierówności
Rozwiązać nierówność to znaczy wskazać wszystkie liczby o tej własności, że jeśli wstawimy je w miejsce niewiadomej, to otrzymamy nierówność prawdziwą.
Jeśli liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności, to mówimy, że spełnia tę nierówność.
- Nierówność, która nie ma rozwiązania nazywa się nierównością sprzeczną
- Nierówności \(>\) oraz \(<\) nazywamy nierównościami ostrymi, a nierówności \(\leq\) oraz \(\geq\) nazywamy nierównościami nieostrymi
- Nierówności są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań
Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną, to zwrot nierówności zmienia się w drugą stronę (na przeciwny)
Przykład 1
Polecenie:
Rozwiąż nierówność \(\frac{2x-5}{4}+2x \geq \frac{x-3}{2}\).
Wyjaśnienie krok po kroku:
Krok 1: Najpierw pomnożymy obie strony nierówności przez 4:
\(\frac{2x-5}{4}+2x \geq \frac{x-3}{2}\;\;\;/ \cdot 4\)
\(4 \cdot\frac{2x-5}{4}+4 \cdot2x \geq 4 \cdot \frac{x-3}{2}\).
Po skróceniu otrzymujemy:
\(2x-5+8x \geq 2(x-3)\)
\(2x-5+8x \geq 2x-6\)
Krok 2: Wyrażenia z niewiadomą przenosimy na jedna stronę nierówności, a liczby - na drugą (pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny)
\(2x+8x-2x \geq -6+5\)
\(8x \geq -1\;\;\; /:8\)
\(x \geq -\frac{1}{8}\)
Krok 3: Rozwiązanie nierówności zaznaczamy na osi liczbowej i zapisujemy w postaci przedziału.
\(x \in <- \frac{1}{8}, \infty) \)
Przykład 2
Polecenie:
Rozwiąż nierówność \((x-3)^2-4 \leq (x-1)(x+5) \).
Wyjaśnienie krok po kroku:
Krok 1: Przekształcamy nierówność do najprostszej postaci:
\(x^2-2 \cdot x\cdot 3 + 3^2-4 \leq x^2+5x-x-5\) - po lewej stronie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(x^2-6x+9 -4\leq x^2+4x-5\)
Krok 2: Wyrażenia z niewiadomą przenosimy na jedna stronę nierówności, a liczby - na drugą (pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny)
\(-6x-4x \leq -5-9+4\)
\(-10x \leq -10\;\;\; /:(-10)\)
\(x \geq 1\) - przy dzieleniu przez liczbę ujemną zwrot nierówności zmienia się w drugą stronę
Krok 3: Rozwiązanie nierówności zaznaczamy na osi liczbowej i zapisujemy w postaci przedziału.
\( x \in <1,\; \infty) \)
Przykład 3
Polecenie:
Rozwiąż nierówność \( 2(3-x)<4x<2x-3(x-5) \)
Wyjaśnienie:
Jest tak zwana nierówność podwójna, którą możemy zapisać za pomocą dwóch nierówności:
\( 2(3-x)<4x\;\;\; \wedge \;\;\;\;4x<2x-3(x-5) \)
Rozwiązaniem nierówności wyjściowej są liczby spełniające jednocześnie obie nierówności zapisane powyżej.
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
\( 2(3-x)<4x\)
\(6-2x<4x\)
\(-2x-4x<-6\)
\(-6x<-6\;\;\;/:(-6)\)
\(x>1\)
\(x\in (1, \infty)\)
Rozwiązujemy drugą nierówność:
\(4x<2x-3(x-5) \)
\(4x<2x-3x+15\)
\(4x-2x+3x<15\)
\(5x<15\;\;\; /:5\)
\(x<3\)
\(x \in (- \infty, 3)\)
Ponieważ szukamy liczb będących jednocześnie rozwiązaniami obu nierówności, więc wyznaczamy część wspólną obu rozwiązań.
\(x \in (1, 3)\)