Własności logarytmów
Własności logarytmów:
Jeśli \( a>0 \), \( a \neq 0 \), \( b>0 \) oraz \( r\in \mathbb{R} \), to prawdziwe są własności:
- \( \log_{a}a=1 \)
- \( \log_{a}1=0 \)
- \( \log_{a}{a^r}=r \)
- \( a^{\log_{a}b}=b \)
Jeśli \( a>0 \), \( a \neq 0 \), \( b>0 \), \( b \neq 0 \) oraz \( c>0 \), \( x>0 \), \( y>0 \), \( r\in \mathbb{R} \), to prawdziwe są własności:
- \( \log_{a}(x \cdot y)=\log_{a}x + \log_{a} y \) - logarytm iloczynu
- \( \log_{a}(\frac{x}{y})=\log_{a}x-\log_{a}y \) - logarytm ilorazu
- \( \log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}x \) - logarytm potęgi
- \( \log_{b}c=\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} \) - zmiana podstawy logarytmu
*Powyższe własności wynikają z własności potęgowania
Przykład 1
Polecenie:
Oblicz wartość wyrażenia \( \log_{4}{\sqrt20}-\log_{4}{\sqrt5} \).
Wyjaśnienie:
Skorzystamy z własności dotyczącej logarytmu ilorazu:
\( \log_{4}{\sqrt20}-\log_{4}{\sqrt5} =\log_{4}{\frac{\sqrt20}{\sqrt5}}=\log_{4}{\sqrt4}=\log_{4}{4^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\) - tutaj skorzystaliśmy z własności \( \log_{a}{a^r}=r \)
Przykład 2
Polecenie:
Oblicz wartość wyrażenia \( \log_{7}4 \cdot \log_{8}7 \).
Wyjaśnienie:
Tutaj skorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu. Wszystkie logarytmy zamienimy na logarytmy o podstawie 2:
\( \log_{7}4 \cdot \log_{8}7=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}7} \cdot \frac{\log_{2}7}{\log_{2}8}=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}8} =\frac{\log_{2}2^2}{\log_{2}2^3}=\frac{2}{3} \)
Przykład 3
Polecenie:
Oblicz wartość wyrażenia \( 3\log{2} +\log125\).
Wyjaśnienie:
Aby zapisać sumę logarytmów w postaci logarytmu iloczynu najpierw musimy wyrażenie \( 3\log{2}\) zapisać w postaci logarytmu potęgi
\( 3\log{2} +\log125 = \log{2^3}+\log125=\log8+\log125=\log(8 \cdot 125)=\log1000=\log10^3=3\)