Określenie logarytmu
Iloczyn jednakowych czynników możemy zapisać w postaci potęgowania:
\( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^6 \)
\( 6 \cdot6 \cdot 6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 = 6^8 \)
- Zastanówmy się teraz, do której potęgi trzeba byłoby podnieść liczbę 2, aby otrzymać 32?
Oczywiście szukanym wykładnikiem jest 5, ponieważ \( 2^5=32 \)
- Zastanówmy się teraz, do której potęgi trzeba byłoby podnieść liczbę 5, aby otrzymać 125?
Oczywiście szukanym wykładnikiem jest 3, ponieważ \( 5^3=125 \)
- Zastanówmy się teraz, do której potęgi trzeba byłoby podnieść liczbę 4, aby otrzymać 25?
Taka liczba nazywa się logarytmem i oznaczamy ją:
- oznacza to, że \( 4^{\log_{4}25}=25 \)
- \( \log_{4}25 \) oznacza liczbę (wykładnik potęgi), do której trzeba podnieść 4, aby otrzymać 25.
- liczba 4 nazywa się podstawą logarytmu, a 25 liczbą logarytmowaną
Logarytmem liczby dodatniej \(b\) przy dodatniej podstawie \(a\) nazywamy taką liczbę \(c\), do której należy podnieść podstawę \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\)
Zapis symboliczny:
\( \log_{a}b=c \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( a^c=b \), przy czym \(a>0, a \neq 0, b>0\)
Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym i zapisujemy:
\(\log_{10}a=\log{a}\).
Przykład 1
Liczba \( \log_{2}{32} \) oznacza wykładnik, do którego należy podnieść liczbę 2 , aby otrzymać 32, a więc
\( \log_{2}{32}=5 \), ponieważ \( 2^5=32 \)
Przykład 2
Polecenie:
Oblicz \( \log_{\sqrt3}9 \).
Rozwiązanie:
Krok 1: Szukamy takiego wykładnika, aby prawdziwa była równość:
\(\sqrt3^{\square}=9\)
Wygodnie jest wówczas zapisać zamiast \(\square\) dowolna zmienną, np. \(c\) lub \(x\). Tutaj zapiszemy \(c\) - jak w definicji logarytmu.
\(\sqrt3^c=9\)
Krok 2: Teraz lewą i prawą stronę równania zapisujemy w postaci potęgi o tej samej podstawie:
\( (3^{\frac{1}{2}})^c=3^2 \)
Korzystając z działań na potęgach (potęgowanie potęgi) otrzymujemy:
\( 3^{\frac{1}{2}c}=3^2 \)
Krok 3: Skoro podstawy są równe, więc wykładniki też muszą być równe, otrzymujemy więc:
\( \frac{1}{2}c=2\;\;\;/ \cdot2 \)
\( c=4 \)
Zatem \( \log_{\sqrt3}9=4 \).
Przykład 3
Polecenie:
Oblicz \( \log_{\frac{1}{4}}64 \).
Rozwiązanie:
Krok 1: Zapisujemy korzystając z definicji logarytmu:
\( (\frac{1}{4})^c=64 \)
Krok 2: Teraz obie strony równania zapisujemy w postaci potęgi o jednakowej podstawie:
\( (4^{-1})^c=4^3 \)
Korzystając z działań na potęgach (potęgowanie potęgi) otrzymujemy:
\(4^{-c}=4^3\)
Krok 3: Skoro podstawy są równe, więc wykładniki też muszą być równe, otrzymujemy więc:
\(-c=3\;\;\;\;/ \cdot{-1}\)
\(c=-3\)
Zatem \( \log_{\frac{1}{4}}64=-3 \).
*Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym i zapisujemy:
\(\log_{10}a=\log{a}\).