Okre┼Ťlenie logarytmu

Iloczyn jednakowych czynników mo┼╝emy zapisa─ç w postaci pot─Ögowania:

 

\( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^6 \)

\( 6 \cdot6 \cdot 6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 \cdot6 = 6^8 \)

 

  • Zastanówmy si─Ö teraz, do której pot─Ögi trzeba by┼éoby podnie┼Ť─ç liczb─Ö 2, aby otrzyma─ç 32?

2 z pustym miejscem na pot─Ög─Ö = 32. 2 do jakiej pot─Ögi to 32?

 

Oczywi┼Ťcie szukanym wyk┼éadnikiem jest 5, poniewa┼╝ \( 2^5=32 \)

 

 

  • Zastanówmy si─Ö teraz, do której pot─Ögi trzeba by┼éoby podnie┼Ť─ç liczb─Ö 5, aby otrzyma─ç 125?

5 z pustym miejsce na pot─Ög─Ö = 125. 5 do jakiej pot─Ögi to 125?

 

Oczywi┼Ťcie szukanym wyk┼éadnikiem jest 3, poniewa┼╝ \( 5^3=125 \)

 

 

  • Zastanówmy si─Ö teraz, do której pot─Ögi trzeba by┼éoby podnie┼Ť─ç liczb─Ö 4, aby otrzyma─ç 25?

4 z pustym miejsce na pot─Ög─Ö = 25. 4 do jakiej pot─Ögi to 25?

 
 
Teraz trudno znaleźć taki wykładnik, ponieważ \(4^2=16\), natomiast \(4^3=64\)
Wiemy tylko, ┼╝e jest to liczba mi─Ödzy 2 i 3, ale trudno j─ů dok┼éadnie wyznaczy─ç.

 

 

Taka liczba nazywa si─Ö logarytmem i oznaczamy j─ů:

Obrazek ilustruj─ůcy logarytm. Podstawa logarytmu 4. Liczba logarytmowana 25.

- oznacza to, ┼╝e \( 4^{\log_{4}25}=25 \)

- \( \log_{4}25 \) oznacza liczb─Ö (wyk┼éadnik pot─Ögi), do której trzeba podnie┼Ť─ç 4, aby otrzyma─ç 25.

- liczba 4 nazywa si─Ö podstaw─ů logarytmu, a 25 liczb─ů logarytmowan─ů

Logarytmem liczby dodatniej \(b\) przy dodatniej podstawie \(a\) nazywamy tak─ů liczb─Ö \(c\), do której nale┼╝y podnie┼Ť─ç podstaw─Ö \(a\), aby otrzyma─ç liczb─Ö \(b\)

 

 

Zapis symboliczny:

 

\( \log_{a}b=c \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( a^c=b \), przy czym \(a>0, a \neq 0, b>0\)

 

 

Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesi─Ötnym i zapisujemy:

 

\(\log_{10}a=\log{a}\).

 

Przykład 1

Liczba \( \log_{2}{32} \) oznacza wyk┼éadnik, do którego nale┼╝y podnie┼Ť─ç liczb─Ö 2 , aby otrzyma─ç 32, a wi─Öc

 

\( \log_{2}{32}=5 \), poniewa┼╝ \( 2^5=32 \)

 

Przykład 2

Polecenie:

 

Oblicz \( \log_{\sqrt3}9 \).

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Krok 1: Szukamy takiego wyk┼éadnika, aby prawdziwa by┼éa równo┼Ť─ç:

\(\sqrt3^{\square}=9\)

 

Wygodnie jest wówczas zapisa─ç zamiast \(\square\) dowolna zmienn─ů, np. \(c\) lub \(x\). Tutaj zapiszemy \(c\) - jak w definicji logarytmu.

\(\sqrt3^c=9\)

 

Krok 2: Teraz lew─ů i praw─ů stron─Ö równania zapisujemy w postaci pot─Ögi o tej samej podstawie:

\( (3^{\frac{1}{2}})^c=3^2 \)

 

Korzystaj─ůc z dzia┼éa┼ä na pot─Ögach (pot─Ögowanie pot─Ögi) otrzymujemy:

\( 3^{\frac{1}{2}c}=3^2 \)

 

Krok 3: Skoro podstawy s─ů równe, wi─Öc wyk┼éadniki te┼╝ musz─ů by─ç równe, otrzymujemy wi─Öc:

\( \frac{1}{2}c=2\;\;\;/ \cdot2 \)

\( c=4 \)

 

Zatem \( \log_{\sqrt3}9=4 \).

 

Przykład 3

Polecenie:

 

Oblicz \( \log_{\frac{1}{4}}64 \).

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Krok 1: Zapisujemy korzystaj─ůc z definicji logarytmu:

\( (\frac{1}{4})^c=64 \)

 

Krok 2: Teraz obie strony równania zapisujemy w postaci pot─Ögi o jednakowej podstawie:

\( (4^{-1})^c=4^3 \)

 

 

Korzystaj─ůc z dzia┼éa┼ä na pot─Ögach (pot─Ögowanie pot─Ögi) otrzymujemy:

\(4^{-c}=4^3\)

 

Krok 3: Skoro podstawy s─ů równe, wi─Öc wyk┼éadniki te┼╝ musz─ů by─ç równe, otrzymujemy wi─Öc:

\(-c=3\;\;\;\;/ \cdot{-1}\)

\(c=-3\)

 

Zatem  \( \log_{\frac{1}{4}}64=-3 \).

 

*Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesi─Ötnym i zapisujemy:

\(\log_{10}a=\log{a}\).