Liczby wymierne

Liczby wymierne to takie liczby, które mo┼╝emy zapisa─ç jako iloraz, czyli wynik dzielenia, dwóch liczb ca┼ékowitych, pod warunkiem ┼╝e dzielnik NIE JEST równy zero.

 

Mo┼╝na to sobie wyobrazi─ç tak:

 

  • Je┼Ťli mamy jab┼éko i podzielimy je na 4 równe cz─Ö┼Ťci, to jedna z tych cz─Ö┼Ťci jest \(\frac{1}{4}\) jab┼éka. Ta \(\frac{1}{4}\) to w┼éa┼Ťnie liczba wymierna - zapisali┼Ťmy j─ů jako wynik dzielenia 1 przez 4.

 

Inny przykład:

 

  • 0.5, czyli po┼éowa. Mo┼╝emy to zapisa─ç jako \(\frac{1}{2}\), wi─Öc 0.5 te┼╝ jest liczb─ů wymiern─ů.

 

Je┼Ťli masz pi─Ö─ç jab┼éek i podzielisz je dla dwóch osób, to otrzymasz 2.5 jab┼éka na osob─Ö. 2.5 to te┼╝ liczba wymierna, bo mo┼╝emy j─ů zapisa─ç jako \(\frac{5}{2}\).

 

 

 

Generalnie liczby wymierne obejmuj─ů:

 

- liczby ca┼ékowite (bo ka┼╝d─ů liczb─Ö ca┼ékowit─ů mo┼╝emy zapisa─ç jako iloraz - na przyk┼éad 3 to to samo co \(\frac{3}{1}\)),

 

- u┼éamki w┼éa┼Ťciwe (takie, które s─ů mniejsze od 1, na przyk┼éad \(\frac{1}{4}\)),

 

- u┼éamki niew┼éa┼Ťciwe (takie, które s─ů wi─Öksze od 1, na przyk┼éad \(\frac{5}{2}\))

 

- liczby dziesi─Ötne, które s─ů sko┼äczone (na przyk┼éad 0.25) lub niesko┼äczone, ale okresowe (na przyk┼éad 0.3333...).

Przykład 1

Polecenie:

 

Wyznacz rozwini─Öcie dziesi─Ötne liczby \(\frac{2}{5}\):

 

W matematyce, gdy mówimy o "rozwini─Öciu dziesi─Ötnym" liczby, mamy na my┼Ťli przedstawienie jej jako dziesi─Ötnej. Mo┼╝emy to zrobi─ç za pomoc─ů podstawowych dzia┼éa┼ä dzielenia. 

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Krok 1: Zapiszmy ułamek jako działanie dzielenia.

 

To oznacza, ┼╝e \(\frac{2}{5}\) to tak naprawd─Ö 2 podzielone przez 5.

 

Krok 2: Teraz podzielmy 2 przez 5. 

 

Gdy zauwa┼╝ymy, ┼╝e 2 nie dzieli si─Ö przez 5 (poniewa┼╝ 2 jest mniejsze od 5), mo┼╝emy doda─ç zera po przecinku, co pozwoli nam kontynuowa─ç dzielenie. Przyjmijmy, ┼╝e dodajemy jedno zero, uzyskuj─ůc 2.0 lub równowa┼╝nie 20/10. 

 

Krok 3: Teraz dzielimy 20 przez 5. Wynik to 4

 

Dlatego rozwini─Öciem dziesi─Ötnym liczby \(\frac{2}{5}\) jest 0.4.

W zwi─ůzku z tym \(\frac{2}{5} = 0.4\). 

 

To zadanie równie┼╝ mo┼╝na rozwi─ůza─ç za pomoc─ů kalkulatora. Wystarczy podzieli─ç 2 przez 5 i kalkulator poka┼╝e wynik 0.4

Przykład 2

Polecenie:

 

Wyznacz rozwini─Öcie dziesi─Ötne liczby \(\frac{8}{11}\).

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

*Rozwi─ůzanie zadania jest dosy─ç proste, je┼╝eli zrozumiesz, jak dzia┼éa dzielenie w systemie dziesi─Ötnym.

 

 

Krok 1: 

Dzielimy 8 przez 11. Poniewa┼╝ 8 jest mniejsze ni┼╝ 11, wynik to 0 z pewn─ů reszt─ů. Ta reszta to w┼éa┼Ťnie 8, poniewa┼╝ 8 nie "zmie┼Ťci┼éo" si─Ö ani razu w 11.

 

*UWAGA: Dla u┼éatwienia mo┼╝emy skorzysta─ç z kalkulatora i pomin─ů─ç poni┼╝sze kroki. Warto jednak zrozumie─ç w jaki sposób to dzia┼éa.

 

Krok 2: 

Teraz dodajemy 0 po przecinku i zastanawiamy si─Ö, ile razy 11 "zmie┼Ťci" si─Ö w 80. Okazuje si─Ö, ┼╝e jest to 7 razy (poniewa┼╝ \(11 \times 7 = 77\)), wi─Öc zapisujemy to jako pierwsz─ů cyfr─Ö po przecinku, czyli \(0.7\). Reszt─Ö z dzielenia \(80 - 77 = 3\) przenosimy do nast─Öpnego kroku.

 

Krok 3: 

W nast─Öpnym kroku, podobnie jak w poprzednim, dodajemy kolejne zero, tym razem do reszty z poprzedniego dzielenia, tworz─ůc liczb─Ö 30. Teraz dzielimy 30 przez 11, co daje 2 (poniewa┼╝ \(11 \times 2 = 22\)), a reszta wynosi \(30 - 22 = 8\). Zapisujemy to jako drug─ů cyfr─Ö po przecinku, czyli mamy teraz \(0.72\).

 

Krok 4: 

Proces powtarzamy tak d┼éugo, jak d┼éugo chcemy uzyska─ç wi─Öcej miejsc po przecinku. Bior─ůc pod uwag─Ö, ┼╝e reszta z ostatniego kroku jest taka sama jak na pocz─ůtku (czyli 8), zaczyna si─Ö ona powtarza─ç, co prowadzi do cyklicznego powtarzania si─Ö tej samej sekwencji cyfr po przecinku. W tym przypadku, liczba \(\frac{8}{11}\) ma rozwini─Öcie dziesi─Ötne okresowe równym \(0.727272...\) .

 

Odpowied┼║:

 

Rozwini─Öciem dziesi─Ötnym liczby \(\frac{8}{11}\) jest \(0.727272...\) .

 

W tym przypadku po przecinku powtarza si─Ö grupa cyfr: (72). W takim wypadku rozwini─Öcie dziesi─Ötne mo┼╝emy zapisa─ç w postaci

\(\frac{8}{11}=0,(72)\)

 

Powtarzaj─ůca si─Ö po przecinku cyfra lub grupa cyfr nazywa si─Ö okresem u┼éamka, a sam u┼éamek - u┼éamkiem okresowym.

 

Przykład 3

Polecenie:

 

Ułamek okresowy \(0,45454545...\) zapisz w postaci ułamka zwykłego.

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Krok 1:

Oznaczamy szukan─ů liczb─Ö przez \(x\).

 

\(x=0,45454545...\)

 

Krok 2: 

Okres u┼éamka (liczby, które si─Ö powtarzaj─ů) sk┼éada si─Ö z dwóch cyfr, wi─Öc wyra┼╝enie \(x=0,45454545...\) b─Ödziemy mno┼╝y─ç stronami przez 100 (liczba zer jest równa ilo┼Ťci cyfr okresu u┼éamka).

 

\(x=0,45454545...\;\;\;\;\;/\cdot 100\)

\(100x=45,454545...\)

 

Krok 3: 

Liczb─Ö \(45,454545...\) zapisujemy w postaci sumy:

 

\(100x=45 + 0,454545...\)

 

Poniewa┼╝ \(0,454545...=x\), wi─Öc

\(100x=45 + x\)

 

Krok 4: 

Pozosta┼éo wyznaczy─ç \(x\) (rozwi─ůza─ç równanie).

 

\(100x-x=45\)

 

\(99x=45\;\;\;\; /:99\)

 

\(x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\)

 

 

 

Odpowied┼║ to \(\frac{5}{11}\)

 

Przykład 4

Polecenie:

 

Ułamek okresowy \(4,134134...\) zapisz w postaci ułamka zwykłego.

 

 

Rozwi─ůzanie krok po kroku:

 

Krok 1:

Oznaczamy szukan─ů liczb─Ö przez \(x\). Dla uproszczenia rachunków cz─Ö┼Ť─ç ca┼ékowit─ů liczby na razie pominiemy.

 

\(x=0,134134134...\)

 

 

Krok 2:

Okres u┼éamka (liczby, które si─Ö powtarzaj─ů) sk┼éada si─Ö z trzech cyfr, wi─Öc wyra┼╝enie \(x=0,134134134...\) b─Ödziemy mno┼╝y─ç stronami przez 1000 (liczba zer jest równa ilo┼Ťci cyfr okresu u┼éamka).

 

\(x=0,134134134...\;\;\;\;\;/\cdot 100\)

 

\(1000x=134,134134134...\)

 

 

Krok 3: 

Liczb─Ö \(134,134134134...\) zapisujemy w postaci sumy:

 

\(1000x=134 + 0,134134134...\)

 

Poniewa┼╝ \(0,134134134...=x\), wi─Öc

 

\(1000x=134 + x\)

 

 

Krok 4: 

Pozosta┼éo wyznaczy─ç \(x\) (rozwi─ůza─ç równanie).

 

\(1000x-x=134\)

 

\(999x=134\;\;\;\; /:99\)

 

\(x=\frac{134}{999}\)

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

\(4,134134134...=4\frac{134}{999}\)