Liczby wymierne
Liczby wymierne to takie liczby, które możemy zapisać jako iloraz, czyli wynik dzielenia, dwóch liczb całkowitych, pod warunkiem że dzielnik NIE JEST równy zero.
Można to sobie wyobrazić tak:
- Jeśli mamy jabłko i podzielimy je na 4 równe części, to jedna z tych części jest \(\frac{1}{4}\) jabłka. Ta \(\frac{1}{4}\) to właśnie liczba wymierna - zapisaliśmy ją jako wynik dzielenia 1 przez 4.
Inny przykład:
- 0.5, czyli połowa. Możemy to zapisać jako \(\frac{1}{2}\), więc 0.5 też jest liczbą wymierną.
Jeśli masz pięć jabłek i podzielisz je dla dwóch osób, to otrzymasz 2.5 jabłka na osobę. 2.5 to też liczba wymierna, bo możemy ją zapisać jako \(\frac{5}{2}\).
Generalnie liczby wymierne obejmują:
- liczby całkowite (bo każdą liczbę całkowitą możemy zapisać jako iloraz - na przykład 3 to to samo co \(\frac{3}{1}\)),
- ułamki właściwe (takie, które są mniejsze od 1, na przykład \(\frac{1}{4}\)),
- ułamki niewłaściwe (takie, które są większe od 1, na przykład \(\frac{5}{2}\))
- liczby dziesiętne, które są skończone (na przykład 0.25) lub nieskończone, ale okresowe (na przykład 0.3333...).
Przykład 1
Polecenie:
Wyznacz rozwinięcie dziesiętne liczby \(\frac{2}{5}\):
W matematyce, gdy mówimy o "rozwinięciu dziesiętnym" liczby, mamy na myśli przedstawienie jej jako dziesiętnej. Możemy to zrobić za pomocą podstawowych działań dzielenia.
Rozwiązanie:
Krok 1: Zapiszmy ułamek jako działanie dzielenia.
To oznacza, że \(\frac{2}{5}\) to tak naprawdę 2 podzielone przez 5.
Krok 2: Teraz podzielmy 2 przez 5.
Gdy zauważymy, że 2 nie dzieli się przez 5 (ponieważ 2 jest mniejsze od 5), możemy dodać zera po przecinku, co pozwoli nam kontynuować dzielenie. Przyjmijmy, że dodajemy jedno zero, uzyskując 2.0 lub równoważnie 20/10.
Krok 3: Teraz dzielimy 20 przez 5. Wynik to 4
Dlatego rozwinięciem dziesiętnym liczby \(\frac{2}{5}\) jest 0.4.
W związku z tym \(\frac{2}{5} = 0.4\).
To zadanie również można rozwiązać za pomocą kalkulatora. Wystarczy podzielić 2 przez 5 i kalkulator pokaże wynik 0.4
Przykład 2
Polecenie:
Wyznacz rozwinięcie dziesiętne liczby \(\frac{8}{11}\).
Rozwiązanie:
*Rozwiązanie zadania jest dosyć proste, jeżeli zrozumiesz, jak działa dzielenie w systemie dziesiętnym.
Krok 1:
Dzielimy 8 przez 11. Ponieważ 8 jest mniejsze niż 11, wynik to 0 z pewną resztą. Ta reszta to właśnie 8, ponieważ 8 nie "zmieściło" się ani razu w 11.
*UWAGA: Dla ułatwienia możemy skorzystać z kalkulatora i pominąć poniższe kroki. Warto jednak zrozumieć w jaki sposób to działa.
Krok 2:
Teraz dodajemy 0 po przecinku i zastanawiamy się, ile razy 11 "zmieści" się w 80. Okazuje się, że jest to 7 razy (ponieważ \(11 \times 7 = 77\)), więc zapisujemy to jako pierwszą cyfrę po przecinku, czyli \(0.7\). Resztę z dzielenia \(80 - 77 = 3\) przenosimy do następnego kroku.
Krok 3:
W następnym kroku, podobnie jak w poprzednim, dodajemy kolejne zero, tym razem do reszty z poprzedniego dzielenia, tworząc liczbę 30. Teraz dzielimy 30 przez 11, co daje 2 (ponieważ \(11 \times 2 = 22\)), a reszta wynosi \(30 - 22 = 8\). Zapisujemy to jako drugą cyfrę po przecinku, czyli mamy teraz \(0.72\).
Krok 4:
Proces powtarzamy tak długo, jak długo chcemy uzyskać więcej miejsc po przecinku. Biorąc pod uwagę, że reszta z ostatniego kroku jest taka sama jak na początku (czyli 8), zaczyna się ona powtarzać, co prowadzi do cyklicznego powtarzania się tej samej sekwencji cyfr po przecinku. W tym przypadku, liczba \(\frac{8}{11}\) ma rozwinięcie dziesiętne okresowe równym \(0.727272...\) .
Odpowiedź:
Rozwinięciem dziesiętnym liczby \(\frac{8}{11}\) jest \(0.727272...\) .
W tym przypadku po przecinku powtarza się grupa cyfr: (72). W takim wypadku rozwinięcie dziesiętne możemy zapisać w postaci
\(\frac{8}{11}=0,(72)\)
Powtarzająca się po przecinku cyfra lub grupa cyfr nazywa się okresem ułamka, a sam ułamek - ułamkiem okresowym.
Przykład 3
Polecenie:
Ułamek okresowy \(0,45454545...\) zapisz w postaci ułamka zwykłego.
Rozwiązanie:
Krok 1:
Oznaczamy szukaną liczbę przez \(x\).
\(x=0,45454545...\)
Krok 2:
Okres ułamka (liczby, które się powtarzają) składa się z dwóch cyfr, więc wyrażenie \(x=0,45454545...\) będziemy mnożyć stronami przez 100 (liczba zer jest równa ilości cyfr okresu ułamka).
\(x=0,45454545...\;\;\;\;\;/\cdot 100\)
\(100x=45,454545...\)
Krok 3:
Liczbę \(45,454545...\) zapisujemy w postaci sumy:
\(100x=45 + 0,454545...\)
Ponieważ \(0,454545...=x\), więc
\(100x=45 + x\)
Krok 4:
Pozostało wyznaczyć \(x\) (rozwiązać równanie).
\(100x-x=45\)
\(99x=45\;\;\;\; /:99\)
\(x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\)
Odpowiedź to \(\frac{5}{11}\)
Przykład 4
Polecenie:
Ułamek okresowy \(4,134134...\) zapisz w postaci ułamka zwykłego.
Rozwiązanie krok po kroku:
Krok 1:
Oznaczamy szukaną liczbę przez \(x\). Dla uproszczenia rachunków część całkowitą liczby na razie pominiemy.
\(x=0,134134134...\)
Krok 2:
Okres ułamka (liczby, które się powtarzają) składa się z trzech cyfr, więc wyrażenie \(x=0,134134134...\) będziemy mnożyć stronami przez 1000 (liczba zer jest równa ilości cyfr okresu ułamka).
\(x=0,134134134...\;\;\;\;\;/\cdot 100\)
\(1000x=134,134134134...\)
Krok 3:
Liczbę \(134,134134134...\) zapisujemy w postaci sumy:
\(1000x=134 + 0,134134134...\)
Ponieważ \(0,134134134...=x\), więc
\(1000x=134 + x\)
Krok 4:
Pozostało wyznaczyć \(x\) (rozwiązać równanie).
\(1000x-x=134\)
\(999x=134\;\;\;\; /:99\)
\(x=\frac{134}{999}\)
Rozwiązanie:
\(4,134134134...=4\frac{134}{999}\)