Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które mogą reprezentować jakąkolwiek odległość wzdłuż linii liczbowej. Zawierają one wszystkie liczby, które znamy i z którymi pracujemy na co dzień, w tym liczby ułamkowe, liczby całkowite, liczby ujemne, zero, liczby niewymierne i wiele więcej.

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy literą \(\mathbb{R}\).

 

W skład zbioru liczb rzeczywistych wchodzą:

 

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... .

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą \(\mathbb{N}\).

 

Liczby całkowite to liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą  \( \mathbb{Z}\).

 

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego \(\frac{n}{m}\), gdzie \(m, n \in \mathbb {Z}\) i \(m \neq 0\). 

każda liczba wymierna posiada rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętna) skończone lub nieskończone okresowe.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą \(\mathbb {Q}\).

 

Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne (posiadają rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe).

Liczby niewymierne oznaczamy \(\mathbb{R-Q}\) lub rzadziej \(\mathbb{IQ}\).

 

Zawieranie się zbiorów można zilustrować za pomocą diagramu:

Ilustracja zbioru liczb rzeczywistych oznaczanych literą R. Po lewej stronie znajduje się zbór liczb niewymiernych (IQ). Po prawej wymierne (Q). Liczy wymierne zawierają liczby całkowite (Z). Liczby całkowite zawierają liczby naturalne (N).

 

 

Z diagramu natychmiast wynika, że:

 

- każda liczba naturalna jest jednocześnie liczbą całkowitą, wymierną i rzeczywistą

- każda liczba całkowita jest jednocześnie liczbą wymierną i rzeczywistą

- każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą

- każda liczba niewymierna jest liczbą rzeczywistą