Liczby niewymierne
Mogą wydawać się skomplikowane na pierwszy rzut oka, ale spróbujemy je wytłumaczyć w prosty sposób.
Przypomnijmy liczby wymierne- Są to liczby, które możemy zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Przykładowo, liczba \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\) czy \(-\frac{7}{9}\) są liczbami wymiernymi. To samo dotyczy liczb całkowitych, które możemy zawsze zapisać jako iloraz z liczbą 1 w mianowniku, na przykład 5 to tak naprawdę \(\frac{5}{1}\).
Teraz przejdźmy do liczb niewymiernych - Są to liczby, których NIE MOŻEMY zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
Brzmi trochę skomplikowanie, prawda? Ale jest proste wyjaśnienie.
Znajdziesz je w miejscach, które możemy określić jako "nieskończone i nieregularne". Przykładowo, liczba \(π\), która jest stosunkiem obwodu okręgu do jego średnicy, jest liczbą niewymierną. Jej wartość wynosi mniej więcej \(3.14159\), ale cyfry po kropce dziesiętnej trwają nieskończenie długo i nie tworzą regularnego wzoru.
Podobnie jest z liczbą \(\sqrt{2}\) (pierwiastkiem kwadratowym z 2), która wynosi mniej więcej \(1.41421\), ale cyfry po kropce dziesiętnej również trwają nieskończenie długo bez regularnego wzoru.
ZAPAMIĘTAJ: Niektóre liczby mogą wydawać się niewymierne na pierwszy rzut oka, ale tak naprawdę są wymierne. Na przykład, \(0.3333...\) (gdzie trzy po kropce dziesiętnej trwają nieskończenie długo) może wyglądać na niewymierną, ale jest to po prostu inny sposób na zapisanie liczby \(\frac{1}{3}\), która jest liczbą wymierną.
Przykład 1
Polecenie:
Sprawdź czy liczba \(0,12122122212222122222...\) jest liczbą niewymierną czy wymierną.
Rozwiązanie:
Aby sprawdzić, czy liczba \(0,12122122212222122222...\) jest liczbą niewymierną czy wymierną, musimy przyjrzeć się wzorcowi, jaki tworzą jej cyfry.
Pierwsza cyfra to 0 - żadna trudności z jej rozpoznaniem.
Następnie pojawia się 1. Każda grupa zaczyna się od 1. Po nim mamy jedną cyfrę 2.
12
Następnie 1 i dwie cyfry 2.
122
Następnie pojawia się kolejne grupowanie cyfr: trzy 2, cztery 2, i tak dalej.
1222
12222
Wzorzec rośnie o jedną dwójkę przy każdej kolejnej grupie cyfr, co oznacza, że grupowanie będzie się powtarzać coraz dłużej.
Jednak nie uda się wyodrębnić powtarzającej się grupy cyfr, ponieważ liczba cyfr w każdym grupowaniu jest inna.
Liczba \(0,12122122212222122222...\) jest niewymierna, ponieważ tworzy nieskończony i niepowtarzający się wzorzec. Nie można jej przedstawić jako ułamek postaci \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p\) i \(q\) są liczbami całkowitymi.