Liczby niewymierne

Mog─ů wydawa─ç si─Ö skomplikowane na pierwszy rzut oka, ale spróbujemy je wyt┼éumaczy─ç w prosty sposób.

 

Przypomnijmy liczby wymierne- S─ů to liczby, które mo┼╝emy zapisa─ç jako iloraz dwóch liczb ca┼ékowitych. Przyk┼éadowo, liczba \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\) czy \(-\frac{7}{9}\) s─ů liczbami wymiernymi. To samo dotyczy liczb ca┼ékowitych, które mo┼╝emy zawsze zapisa─ç jako iloraz z liczb─ů 1 w mianowniku, na przyk┼éad 5 to tak naprawd─Ö \(\frac{5}{1}\).

 

Teraz przejd┼║my do liczb niewymiernych - S─ů to liczby, których NIE MO┼╗EMY zapisa─ç jako iloraz dwóch liczb ca┼ékowitych.

 

Brzmi troch─Ö skomplikowanie, prawda? Ale jest proste wyja┼Ťnienie.

 

Znajdziesz je w miejscach, które mo┼╝emy okre┼Ťli─ç jako "niesko┼äczone i nieregularne". Przyk┼éadowo, liczba \(π\), która jest stosunkiem obwodu okr─Ögu do jego ┼Ťrednicy, jest liczb─ů niewymiern─ů. Jej warto┼Ť─ç wynosi mniej wi─Öcej \(3.14159\), ale cyfry po kropce dziesi─Ötnej trwaj─ů niesko┼äczenie d┼éugo i nie tworz─ů regularnego wzoru.

 

Podobnie jest z liczb─ů \(\sqrt{2}\) (pierwiastkiem kwadratowym z 2), która wynosi mniej wi─Öcej \(1.41421\), ale cyfry po kropce dziesi─Ötnej równie┼╝ trwaj─ů niesko┼äczenie d┼éugo bez regularnego wzoru.

 

 

ZAPAMI─śTAJ: Niektóre liczby mog─ů wydawa─ç si─Ö niewymierne na pierwszy rzut oka, ale tak naprawd─Ö s─ů wymierne. Na przyk┼éad, \(0.3333...\) (gdzie trzy po kropce dziesi─Ötnej trwaj─ů niesko┼äczenie d┼éugo) mo┼╝e wygl─ůda─ç na niewymiern─ů, ale jest to po prostu inny sposób na zapisanie liczby \(\frac{1}{3}\), która jest liczb─ů wymiern─ů.

Przykład 1

Polecenie:

 

Sprawd┼║ czy liczba \(0,12122122212222122222...\) jest liczb─ů niewymiern─ů czy wymiern─ů.

 

Rozwi─ůzanie:

 

Aby sprawdzi─ç, czy liczba \(0,12122122212222122222...\) jest liczb─ů niewymiern─ů czy wymiern─ů, musimy przyjrze─ç si─Ö wzorcowi, jaki tworz─ů jej cyfry.

 

Pierwsza cyfra to 0 - ┼╝adna trudno┼Ťci z jej rozpoznaniem.

Nast─Öpnie pojawia si─Ö 1. Ka┼╝da grupa zaczyna si─Ö od 1. Po nim mamy jedn─ů cyfr─Ö 2.

12

Nast─Öpnie 1 i dwie cyfry 2.

122

Nast─Öpnie pojawia si─Ö kolejne grupowanie cyfr: trzy 2, cztery 2, i tak dalej.

1222

12222

 

Wzorzec ro┼Ťnie o jedn─ů dwójk─Ö przy ka┼╝dej kolejnej grupie cyfr, co oznacza, ┼╝e grupowanie b─Ödzie si─Ö powtarza─ç coraz d┼éu┼╝ej.

Jednak nie uda si─Ö wyodr─Öbni─ç powtarzaj─ůcej si─Ö grupy cyfr, poniewa┼╝ liczba cyfr w ka┼╝dym grupowaniu jest inna.

 

Liczba \(0,12122122212222122222...\) jest niewymierna, poniewa┼╝ tworzy niesko┼äczony i niepowtarzaj─ůcy si─Ö wzorzec. Nie mo┼╝na jej przedstawi─ç jako u┼éamek postaci \(\frac{p}{q}\), gdzie \(p\) i \(q\) s─ů liczbami ca┼ékowitymi.