Liczby naturalne

Liczby naturalne to podstawowy typ liczb, który u┼╝ywamy na co dzie┼ä. S─ů to wszystkie dodatnie liczby ca┼ékowite, które nie s─ů u┼éamkami ani liczbami dziesi─Ötnymi. Zaczynaj─ů si─Ö od liczby 1 i id─ů w gór─Ö, tak daleko jak mo┼╝emy sobie wyobrazi─ç.

 

  • Na przyk┼éad: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15... i tak dalej.

 

  • Liczb─Ö naturaln─ů zwykle oznacza si─Ö symbolem \(n\).

 

Czy kiedykolwiek zwróci┼ée┼Ť uwag─Ö, ┼╝e kiedy liczysz przedmioty, zaczynasz od 1? Na przyk┼éad, je┼Ťli masz trzy jab┼éka, zaczynasz od: "jedno jab┼éko, dwa jab┼éka, trzy jab┼éka". Te numery, których u┼╝ywasz do liczenia, s─ů w┼éa┼Ťnie liczbami naturalnymi. S─ů one fundamentalne dla naszego zrozumienia matematyki i s─ů u┼╝ywane w wielu ró┼╝nych dziedzinach, takich jak algebra, geometria, rachunek ró┼╝niczkowy i wiele innych.

Ciekawostk─ů jest to, ┼╝e niektórzy matematycy uwa┼╝aj─ů zero za liczb─Ö naturaln─ů, podczas gdy inni nie. W tradycyjnym podej┼Ťciu liczby naturalne zaczynaj─ů si─Ö od 1, ale w niektórych obszarach matematyki jest to u┼éatwienie, aby zero by┼éo równie┼╝ traktowane jako liczba naturalna.

 

Liczby pierwsze i złożone:

 

W zbiorze liczb naturalnych wyró┼╝niamy:

-liczby pierwsze, czyli takie które maj─ů dok┼éadnie dwa dzielniki (1 i sam─ů siebie) 

-liczby z┼éo┼╝one, czyli takie, które maj─ů wi─Öcej ni┼╝ dwa dzielniki

 

Liczby 0 i 1 nie s─ů liczbami ani pierwszymi, ani z┼éo┼╝onymi, a liczba 2 jest jedyn─ů parzyst─ů liczb─ů pierwsz─ů.

 

Pocz─ůtkowe liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .

Ka┼╝d─ů liczb─Ö z┼éo┼╝on─ů mo┼╝emy zapisa─ç w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Przykład 1

Polecenie:

 

Zapisz trzy kolejne liczby naturalne, z których najmniejsz─ů jest \(n\).

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Przyjmijmy, ┼╝e \(n\) jest równe 5. Wybierzmy dwie kolejne liczby naturalne (6, 7). Mo┼╝emy teraz zapisa─ç te trzy liczby jako:

 

\(n = 5\), \(n + 1 = 6\), i \(n + 2 = 7\).

 

W przypadku gdyby \(n\) mia┼éo warto┼Ť─ç 10, wtedy te trzy liczby naturalne to:

 

\(n = 10\), \(n + 1 = 11\), i \(n + 2 = 12\).

 

W ten sposób, aby rozwi─ůza─ç to zadanie, musisz wybra─ç dowoln─ů liczb─Ö naturaln─ů i nazwa─ç j─ů \(n\). Nast─Öpnie, aby znale┼║─ç trzy kolejne liczby naturalne, musisz doda─ç do warto┼Ťci \(n\) 1 i 2.

Te trzy liczby b─Öd─ů kolejno: \(n\), \(n + 1\), i \(n + 2\).

 

 

Odpowied┼║:

 

Kolejne liczby naturalne to;  \(n, \;n+1,\;n+2\).

Przykład 2

Polecenie:

 

Liczb─Ö 24 zapisz w postaci iloczynu liczb pierwszych.

 

Rozwi─ůzanie:

 

Krok 1: Zrozumienie problemu:

Zadanie polega na roz┼éo┼╝eniu liczby 24 na czynniki pierwsze. Liczby pierwsze to liczby, które maj─ů dok┼éadnie dwa ró┼╝ne dzielniki: jeden i siebie samego. Przyk┼éadowo, 2, 3, 5, 7, 11, 13 to liczby pierwsze.

 

Krok 2: Znajdowanie czynników pierwszych liczby 24:

Aby to zrobi─ç, zaczynamy od najmniejszej liczby pierwszej, czyli 2, i dzielimy 24 przez 2. Je┼╝eli 24 dzieli si─Ö przez 2 bez reszty, oznacza to, ┼╝e 2 jest jednym z czynników pierwszych liczby 24.

24 / 2 = 12, wi─Öc 2 jest czynnikiem pierwszym liczby 24.

 

Krok 3: Kontynuowanie procesu:

Nast─Öpnie bierzemy wynik poprzedniego dzielenia (12) i znowu dzielimy go przez 2. Ponownie, 12 dzieli si─Ö przez 2 bez reszty:

12 / 2 = 6, wi─Öc kolejnym czynnikiem pierwszym liczby 24 jest te┼╝ 2.

 

Krok 4: Powtarzanie kroków:

Kontynuujemy ten proces a┼╝ do momentu, kiedy wynik dzielenia nie b─Ödzie ju┼╝ dzieli┼é si─Ö przez 2 bez reszty. Dziel─ůc 6 przez 2 otrzymamy:

6 / 2 = 3, wi─Öc kolejnym czynnikiem pierwszym liczby 24 jest znowu 2.

 

Krok 5: Kończenie procesu:

Teraz mamy 3, które nie dzieli si─Ö przez 2, ale dzieli si─Ö przez siebie i 1, co oznacza, ┼╝e jest liczb─ů pierwsz─ů. Zatem ostatnim czynnikiem pierwszym liczby 24 jest 3.

 

Odpowied┼║:

 

Podsumowuj─ůc, 24 mo┼╝na zapisa─ç jako iloczyn liczb pierwszych w nast─Öpuj─ůcy sposób: \(24=2\cdot 2 \cdot2\cdot3\). Inaczej mo┼╝na to zapisa─ç jako \(24=2^3 \cdot3\).