Liczby naturalne
Liczby naturalne to podstawowy typ liczb, który używamy na co dzień. Są to wszystkie dodatnie liczby całkowite, które nie są ułamkami ani liczbami dziesiętnymi. Zaczynają się od liczby 1 i idą w górę, tak daleko jak możemy sobie wyobrazić.
- Na przykład: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15... i tak dalej.
- Liczbę naturalną zwykle oznacza się symbolem \(n\).
Czy kiedykolwiek zwróciłeś uwagę, że kiedy liczysz przedmioty, zaczynasz od 1? Na przykład, jeśli masz trzy jabłka, zaczynasz od: "jedno jabłko, dwa jabłka, trzy jabłka". Te numery, których używasz do liczenia, są właśnie liczbami naturalnymi. Są one fundamentalne dla naszego zrozumienia matematyki i są używane w wielu różnych dziedzinach, takich jak algebra, geometria, rachunek różniczkowy i wiele innych.
Ciekawostką jest to, że niektórzy matematycy uważają zero za liczbę naturalną, podczas gdy inni nie. W tradycyjnym podejściu liczby naturalne zaczynają się od 1, ale w niektórych obszarach matematyki jest to ułatwienie, aby zero było również traktowane jako liczba naturalna.
Liczby pierwsze i złożone:
W zbiorze liczb naturalnych wyróżniamy:
-liczby pierwsze, czyli takie które mają dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie)
-liczby złożone, czyli takie, które mają więcej niż dwa dzielniki
Liczby 0 i 1 nie są liczbami ani pierwszymi, ani złożonymi, a liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Początkowe liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .
Każdą liczbę złożoną możemy zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Przykład 1
Polecenie:
Zapisz trzy kolejne liczby naturalne, z których najmniejszą jest \(n\).
Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że \(n\) jest równe 5. Wybierzmy dwie kolejne liczby naturalne (6, 7). Możemy teraz zapisać te trzy liczby jako:
\(n = 5\), \(n + 1 = 6\), i \(n + 2 = 7\).
W przypadku gdyby \(n\) miało wartość 10, wtedy te trzy liczby naturalne to:
\(n = 10\), \(n + 1 = 11\), i \(n + 2 = 12\).
W ten sposób, aby rozwiązać to zadanie, musisz wybrać dowolną liczbę naturalną i nazwać ją \(n\). Następnie, aby znaleźć trzy kolejne liczby naturalne, musisz dodać do wartości \(n\) 1 i 2.
Te trzy liczby będą kolejno: \(n\), \(n + 1\), i \(n + 2\).
Odpowiedź:
Kolejne liczby naturalne to; \(n, \;n+1,\;n+2\).
Przykład 2
Polecenie:
Liczbę 24 zapisz w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Rozwiązanie:
Krok 1: Zrozumienie problemu:
Zadanie polega na rozłożeniu liczby 24 na czynniki pierwsze. Liczby pierwsze to liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki: jeden i siebie samego. Przykładowo, 2, 3, 5, 7, 11, 13 to liczby pierwsze.
Krok 2: Znajdowanie czynników pierwszych liczby 24:
Aby to zrobić, zaczynamy od najmniejszej liczby pierwszej, czyli 2, i dzielimy 24 przez 2. Jeżeli 24 dzieli się przez 2 bez reszty, oznacza to, że 2 jest jednym z czynników pierwszych liczby 24.
24 / 2 = 12, więc 2 jest czynnikiem pierwszym liczby 24.
Krok 3: Kontynuowanie procesu:
Następnie bierzemy wynik poprzedniego dzielenia (12) i znowu dzielimy go przez 2. Ponownie, 12 dzieli się przez 2 bez reszty:
12 / 2 = 6, więc kolejnym czynnikiem pierwszym liczby 24 jest też 2.
Krok 4: Powtarzanie kroków:
Kontynuujemy ten proces aż do momentu, kiedy wynik dzielenia nie będzie już dzielił się przez 2 bez reszty. Dzieląc 6 przez 2 otrzymamy:
6 / 2 = 3, więc kolejnym czynnikiem pierwszym liczby 24 jest znowu 2.
Krok 5: Kończenie procesu:
Teraz mamy 3, które nie dzieli się przez 2, ale dzieli się przez siebie i 1, co oznacza, że jest liczbą pierwszą. Zatem ostatnim czynnikiem pierwszym liczby 24 jest 3.
Odpowiedź:
Podsumowując, 24 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych w następujący sposób: \(24=2\cdot 2 \cdot2\cdot3\). Inaczej można to zapisać jako \(24=2^3 \cdot3\).