Liczby całkowite
Liczby całkowite to rodzaj liczb, które mogą być dodatnie, ujemne, albo mogą wynosić zero. Wszystkie te liczby nie mają żadnych części dziesiętnych. Innymi słowy, są to liczby, które nie mają nic po przecinku.
Jeśli pomyślimy o osi liczbowej, liczby całkowite to wszystkie liczby, które możemy zobaczyć na tej osi. Na przykład -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 to wszystko liczby całkowite. Każda z tych liczb jest oddzielona o jeden krok.
Tak więc, jeśli mówimy o liczbach całkowitych, mówimy o zestawie liczb, które obejmują zarówno liczby dodatnie jak i ujemne, a także zero, bez żadnych ułamków czy części dziesiętnych.
Liczby całkowite są bardzo ważne w matematyce i używane są w wielu różnych kontekstach, od prostych działań matematycznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, po bardziej złożone koncepcje, takie jak teoria liczb.
Podzielność liczb:
Liczba całkowita \(n\) jest podzielna przez liczbę całkowitą \(m\) różną od zera, jeżeli istnieje taka liczba naturalna \(k\), dla której \(n=m \cdot k\). Liczba \(m\) nazywa się dzielnikiem liczby \(n\), a liczba \(n\) nazywa się wielokrotnością liczby \(m\).
PAMIĘTAJ!: Liczby naturalne \(\mathbb{N}\) należą do liczb całkowitych \(\mathbb{Z}\). Liczba 4 jest jednocześnie całkowita i naturalna. Natomiast liczba ujemna -1 jest całkowita ale nie jest naturalna.
Przykład 1
Polecenie:
Zbiór \(A=\{x: x = 3k, k \in \mathbb{N}\}\) oznacza zbiór wielokrotności liczby 3:
Oblicz sumę pierwszych dziesięciu liczb w tym zbiorze.
Wyjaśnienie:
Krok 1
Na początku zauważmy że \(k \in \mathbb{N}\) co oznacza że k należy do zbioru liczb naturalnych. Więc bierzemy pod uwagę tylko liczby większe od 0. (1, 2, 3, 4, 5, 6 ... )
Krok 2
Muszą być to tylko wielokrotoności liczby 3. Wypiszmy początkowe liczby podzielne przez 3 które są liczbami naturalnymi.
\(A=\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...\}\).
Krok 3
Obliczamy sumę pierwszych dziesięciu liczb w tym zbiorze, dodając do siebie kolejne elementy:
\(3+6+9+12+15+18+21+24+27=135\)
Rozwiązanie:
Suma pierwszych dziesięciu liczb w zbiorze wynosi 135.
Przykład 2
Polecenie:
Zapisz wzór ogólny liczby \(n\) gdy jest podzielna przez 5:
Rozwiązanie:
Jeżeli liczba \(n\) jest podzielna przez 5, to możemy zapisać ja w postaci \(n=5k\), gdzie \(k \in \mathbb{Z}\).
Przykład 3
Polecenie:
Czy liczba 8 jest dzielnikiem liczby 60?
Rozwiązanie:
Gdyby tak było, to musiałaby istnieć taka liczba \(k \in \mathbb{N}\), że \(60=8 \cdot k\). Łatwo zauważyć, że taka liczba naturalna nie istnieje.
Możemy jednak zapisać, że \(60=8 \cdot 7 + 4\). Takie dzielenie nazywamy dzieleniem z resztą, a liczba 4 nazywa się resztą z dzielenia. Oczywiście reszta z dzielenia jest mniejsza niż dzielnik.
Dla liczb całkowitych \(n\) i \(m\) istnieje jedna para takich liczb naturalnych \(k\) i \(r\), dla których \(n=k \cdot\ m + r\). Liczba \(k\) nazywa się ilorazem, a liczba \(r\) - resztą z dzielenia \(n\) przez \(m\).
Przykład 4
Polecenie:
Zapisz wzór ogólny liczby niepodzielnej przez 4.
Rozwiązanie:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4, to reszta z dzielenia tej liczby przez 4 może wynosić 1 lub 2 lub 3 (jeśli reszta będzie równa 0, to liczba jest podzielna przez 4).
Szukana liczba będzie postaci:
\(n_1=4k+1\)
lub
\(n_2=4k+2\)
lub
\(n_3=4k + 3\)
Przykład 5
Polecenie:
Zapisz wzór ogólny liczby, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.
Rozwiązanie:
\(n=5k+3\) - tutaj iloraz wynosi \(k\), a reszta 3.