Liczby całkowite

Liczby ca┼ékowite to rodzaj liczb, które mog─ů by─ç dodatnie, ujemne, albo mog─ů wynosi─ç zero. Wszystkie te liczby nie maj─ů ┼╝adnych cz─Ö┼Ťci dziesi─Ötnych. Innymi s┼éowy, s─ů to liczby, które nie maj─ů nic po przecinku.

 

Je┼Ťli pomy┼Ťlimy o osi liczbowej, liczby ca┼ékowite to wszystkie liczby, które mo┼╝emy zobaczy─ç na tej osi. Na przyk┼éad -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 to wszystko liczby ca┼ékowite. Ka┼╝da z tych liczb jest oddzielona o jeden krok.

 

O┼Ť liczbowa z zaznaczonymi liczbami -3,-2,-1,0,1,2,3

 

Tak wi─Öc, je┼Ťli mówimy o liczbach ca┼ékowitych, mówimy o zestawie liczb, które obejmuj─ů zarówno liczby dodatnie jak i ujemne, a tak┼╝e zero, bez ┼╝adnych u┼éamków czy cz─Ö┼Ťci dziesi─Ötnych.

Liczby ca┼ékowite s─ů bardzo wa┼╝ne w matematyce i u┼╝ywane s─ů w wielu ró┼╝nych kontekstach, od prostych dzia┼éa┼ä matematycznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, po bardziej z┼éo┼╝one koncepcje, takie jak teoria liczb.

 

Podzielno┼Ť─ç liczb:

 

Liczba ca┼ékowita \(n\) jest podzielna przez liczb─Ö ca┼ékowit─ů \(m\) ró┼╝n─ů od zera, je┼╝eli istnieje taka liczba naturalna \(k\), dla której \(n=m \cdot k\). Liczba \(m\) nazywa si─Ö dzielnikiem liczby \(n\), a liczba \(n\) nazywa si─Ö wielokrotno┼Ťci─ů liczby \(m\).

 

PAMI─śTAJ!: Liczby naturalne \(\mathbb{N}\) nale┼╝─ů do liczb ca┼ékowitych \(\mathbb{Z}\). Liczba 4 jest jednocze┼Ťnie ca┼ékowita i naturalna. Natomiast liczba ujemna -1 jest ca┼ékowita ale nie jest naturalna.

 

 

Przykład 1

Polecenie:

 

Zbiór \(A=\{x: x = 3k, k \in \mathbb{N}\}\) oznacza zbiór wielokrotno┼Ťci liczby 3:

Oblicz sum─Ö pierwszych dziesi─Öciu liczb w tym zbiorze.

 

 

Wyja┼Ťnienie:

Krok 1

Na pocz─ůtku zauwa┼╝my ┼╝e \(k \in \mathbb{N}\) co oznacza ┼╝e k nale┼╝y do zbioru liczb naturalnych. Wi─Öc bierzemy pod uwag─Ö tylko liczby wi─Öksze od 0. (1, 2, 3, 4, 5, 6 ... )

 

Krok 2

Musz─ů by─ç to tylko wielokrotono┼Ťci liczby 3. Wypiszmy pocz─ůtkowe liczby podzielne przez 3 które s─ů liczbami naturalnymi.

 

\(A=\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...\}\).

 

Krok 3

Obliczamy sum─Ö pierwszych dziesi─Öciu liczb w tym zbiorze, dodaj─ůc do siebie kolejne elementy:

 

\(3+6+9+12+15+18+21+24+27=135\)

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Suma pierwszych dziesi─Öciu liczb w zbiorze  wynosi 135.

Przykład 2

Polecenie:

 

Zapisz wzór ogólny liczby \(n\) gdy jest podzielna przez 5:

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Je┼╝eli liczba \(n\) jest podzielna przez 5, to mo┼╝emy zapisa─ç ja w postaci \(n=5k\), gdzie \(k \in \mathbb{Z}\).

Przykład 3

Polecenie:

 

Czy liczba 8 jest dzielnikiem liczby 60?

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Gdyby tak by┼éo, to musia┼éaby istnie─ç taka liczba \(k \in \mathbb{N}\), ┼╝e \(60=8 \cdot k\). ┼üatwo zauwa┼╝y─ç, ┼╝e taka liczba naturalna nie istnieje.

Mo┼╝emy jednak zapisa─ç, ┼╝e \(60=8 \cdot 7 + 4\). Takie dzielenie nazywamy dzieleniem z reszt─ů, a liczba 4 nazywa si─Ö reszt─ů z dzielenia. Oczywi┼Ťcie reszta z dzielenia jest mniejsza ni┼╝ dzielnik.

 

 

Dla liczb ca┼ékowitych \(n\) i \(m\) istnieje jedna para takich liczb naturalnych \(k\) i \(r\), dla których \(n=k \cdot\ m + r\).  Liczba \(k\) nazywa si─Ö ilorazem, a liczba \(r\) - reszt─ů z dzielenia \(n\) przez \(m\).

 

Przykład 4

Polecenie:

 

Zapisz wzór ogólny liczby niepodzielnej przez 4. 

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

Je┼Ťli liczba nie jest podzielna przez 4, to reszta z dzielenia tej liczby przez 4 mo┼╝e wynosi─ç 1 lub 2 lub 3 (je┼Ťli reszta b─Ödzie równa 0, to liczba jest podzielna przez 4).

Szukana liczba b─Ödzie postaci: 

 

\(n_1=4k+1\) 

 

lub

 

\(n_2=4k+2\) 

 

lub  

 

\(n_3=4k + 3\)

Przykład 5

Polecenie:

 

Zapisz wzór ogólny liczby, która przy dzieleniu przez 5 daje reszt─Ö 3.

 

 

Rozwi─ůzanie:

 

\(n=5k+3\) - tutaj iloraz wynosi \(k\), a reszta 3.