Monotoniczność funkcji

  • Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych \(x_{1},\;x_{2} \in X\) spełniony jest warunek:

 

 

\(x_{1}>x_{2}\), to \(f(x_{1})>f(x_{2})\)

 

 

 

Przedziały, w których funkcja jest rosnąca możemy odczytać z wykresu funkcji:

 

Funkcja liniowa złożona z trzech funkcji. Funkcja rosnąca od (-5,1) nie wliczając do (-2,3). Funkcja stała od (-2,3) do (1,3). Funkcja rosnąca od (1,3) do (3,5) wliczając. Oznaczone przedziały monotoniczności w których funkcja jest rosnąca.

 

 

-Funkcja jest rosnąca w tych przedziałach, w których wykres "wznosi się do góry". 

 

-Przedziały, w których funkcja jest rosnąca są przedziałami domkniętymi (chyba, że koniec przedziału nie należy do dziedziny funkcji).

 

-W powyższym przykładzie funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-5,-2]\) oraz \([1,3]\), co symbolicznie zapisujemy:

 

\(f \nearrow\) dla \(x \in (-5,-2]\) oraz dla \(x \in [1,3]\).

 

 

 

  • Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych \(x_{1},\;x_{2} \in X\) spełniony jest warunek:

 

 \(x_{1}>x_{2}\), to \(f(x_{1})<f(x_{2})\)

 

 

 

Przedziały, w których funkcja jest malejąca możemy odczytać z wykresu funkcji.

 

Funkcja liniowa złożona z trzech funkcji. Funkcja malejąca od (-4,5) wliczając do (-2,3). Funkcja stała od (-2,3) do (1,3). Funkcja malejąca od (1,3) do (3,2) nie wliczając. Oznaczone przedziały monotoniczności w których funkcja jest malejąca.

 

 

-Funkcja jest malejąca w tych przedziałach, w których wykres "opada w dół". 

 

-Przedziały, w których funkcja jest malejąca są przedziałami domkniętymi (chyba, że koniec przedziału nie należy do dziedziny funkcji).

 

-W powyższym przykładzie funkcja jest malejąca w przedziałach \([-4,-2]\) oraz \([1,3)\), co symbolicznie zapisujemy:

 

\(f \searrow\) dla \(x \in [-4,-2]\) oraz dla \(x \in [1,3)\).

 

 

 

  • Funkcję nazywamy stałą w zbiorze X, jeśli dla dowolnych \(x_{1},\;x_{2} \in X\) spełniony jest warunek:

 

\(f(x_{1})=f(x_{2})\)

 

 

 

Przedziały, w których funkcja jest stała możemy odczytać z wykresu funkcji.

Funkcja liniowa złożona z trzech funkcji. Funkcja malejąca od (-4,5) wliczając do (-2,3). Funkcja stała od (-2,3) do (1,3). Funkcja malejąca od (1,3) do (3,2) nie wliczając. Oznaczony przedział monotoniczności w których funkcja jest stała.

 

 

-Funkcja jest stała w tych przedziałach, w których wykres jest równoległy do osi OX (poziomy). 

 

-Przedziały, w których funkcja jest stała są przedziałami domkniętymi (chyba, że koniec przedziału nie należy do dziedziny funkcji).

 

-W powyższym przykładzie funkcja jest stała w przedziale \([-2,1]\), co symbolicznie zapisujemy:

 

f jest stała dla \(x \in [-2,1]\).

 

 

Określić monotoniczność funkcji, to znaczy podać, w których przedziałach funkcja jest rosnąca, w których malejąca, a w których stała.

 

Polecenie:

 

Określ przedziały monotoniczności funkcji przedstawionej na wykresie.

 

Funkcja złożona z 3 funkcji. Pierwsza rosnąca od (-4,1) włącznie do (-2,2). Druga rosnąca od (-2,2) do (0,4). Trzecia malejąca od (0,4) do (3,2) nie wliczając.

 

 

 

Wyjaśnienie:

 

Wykres analizujemy "od lewej do prawej". 

 

Funkcja złożona z 3 funkcji. Pierwsza rosnąca od (-4,1) włącznie do (-2,2). Druga rosnąca od (-2,2) do (0,4). Trzecia malejąca od (0,4) do (3,2) nie wliczając. Zieloną strzałką oznaczone etapy w których funkcja jest rosnąca.

 

Zauważmy, że wykres "wznosi się" w przedziale \([-4,-2]\) oraz \([-2,0]\), a zatem funkcja jest rosnącą w całym przedziale \([-4,0]\) (w przedziale \([-4,-2]\) rośnie wolniej, a w przedziale \([-2,0]\) rośnie szybciej)

 

 

 

Funkcja złożona z 3 funkcji. Pierwsza rosnąca od (-4,1) włącznie do (-2,2). Druga rosnąca od (-2,2) do (0,4). Trzecia malejąca od (0,4) do (3,2) nie wliczając. Czerwoną strzałką oznaczony etap w którym funkcja jest malejąca.

 

W przedziale \([0,3)\) wykres funkcji "opada w dół", a zatem w tym przedziale funkcja jest malejąca.

 

Symbolicznie zapisujemy:

\(f \nearrow\) dla \(x \in [-4, 0]\)

\(f \searrow\) dla \(x \in [0, 3)\)