Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument \((x)\), dla którego warto┼Ť─ç funkcji \(f(x)\)wynosi 0.

Jesli funkcja posiada wi─Öcej ni┼╝ jedno miejsce zerowe, to oznaczamy je zwykle \(x_{1},  x_{2}, x_{3},...\).

Przykład 1

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji okre┼Ťlonej tabelk─ů:

 Tabela. Wiersz pierwszy, argumenty funkcji: x, -3, -1, 0, 1, 4, 8. Wiersz drugi, warto┼Ťci funkcji: y, 12, 4, 0, -4, -16, -40.

 

Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x = 0\), (0 jest jedynym argumentem, dla którego warto┼Ť─ç funkcji wynosi 0)

Przykład 2

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji, której wykres przedstawia rysunek poni┼╝ej.

 

Funkcja liniowa z┼éo┼╝ona z dwóch funkcji. Pierwsza od (-3,-1) nie wliczaj─ůc do (1,3). Druga od (1,3) do (3,-3) wliczaj─ůc.

 

Miejscami zerowymi tej funkcji s─ů liczby \(x_{1}=-2,\;x_{2}=2\)

(wystarczy odczyta─ç pierwsze wspó┼érz─Ödne punktów przeci─Öcia wykresu funkcji z osi─ů OX; druga wspó┼érz─Ödna - warto┼Ť─ç funkcji - jest równa zero).

Przykład 3

Polecenie:

 

Wyznacz miejsce zerowe okre┼Ťlonej wzorem \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}\).

 

 

Wyja┼Ťnienie:

 

Wyznaczamy dziedzin─Ö funkcji: \(D_{f} = \mathbb{R}-\{1\}\).

Miejsce zerowe wyznaczymy rozwi─ůzuj─ůc równanie:

 

\(\frac{x^2-4}{x-1}=0\) - szukamy argumentu, dla którego warto┼Ť─ç funkcji jest równa 0.

\(\frac{x^2-4}{x-1}=0\;\;\; /\cdot (x-1) \)

\(x^2-4=0\)

\(x^2=4\)

 

\(x_{1}=2\;\;\; \wedge \;\;\; x_{2}=-2\)   - miejsca zerowe funkcji

 

Przykład 4

Polecenie:

 

Wyznacz miejsce zerowe funkcji okre┼Ťlonej wzorem \(f(x)=\sqrt{3x+6}\).

 

 

Wyja┼Ťnienie:

 

Wyznaczamy dziedzin─Ö funkcji:

\(3x+6 \geq 0\)

\(3x \geq -6\;\;\; /:3\)

\(x \geq -2\)

\(D_{f}=<-2, \infty)\)

 

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

 

\(\sqrt{3x+6}=0\)

\(3x+6=0\)

\(3x=-6\;\;\; /:3\)

 

\(x=-2 \in D_{f}\)   - miejsce zerowe