Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Dziedziną funkcji nazywamy zbiór argumentów funkcji.

 

Wyznaczyć dziedzinę funkcji to znaczy wyznaczyć wszystkie liczby, dla których funkcja jest określona (to znaczy, dla których możemy obliczyć wartość funkcji). 

 

Zbiór wartości funkcji to zbiór liczb, które są wartościami funkcji dla poszczególnych argumentów.

Przykład 1

Polecenie:

 

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji określonej tabelką:

 

 Tabela. Wiersz pierwszy, argumenty funkcji: x, -3, -1, 0, 1, 4, 8. Wiersz drugi, wartości funkcji: y, 12, 4, 0, -4, -16, -40.

 

 

Rozwiązanie:

 

Dziedzina funkcji: \(D_{f}=\{-3, -1, 0, 1, 4, 8\}\)

 

Zbiór wartości funkcji: \(Z_{wf}=\{12, 4, 0, -4, -16, -40\}\)

Przykład 2

Polecenie:

 

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji, której wykres przedstawia rysunek poniżej.

 

Prosta wyznaczona z funkcji f(x) od punktu (-5,2) nie wliczając do punktu (2,4) wliczając.

 

 

Rozwiązanie:

 

Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi OX:

 

Prosta wyznaczona z funkcji f(x) od punktu (-5,2) nie wliczając do punktu (2,4) wliczając. Rzutowany na oś x zbór argumentów tej funkcji (-5, 2>.

 

\(D_{f}=(-5, 2>\)

 

 

Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi OY:

 

Prosta wyznaczona z funkcji f(x) od punktu (-5,2) nie wliczając do punktu (2,4) wliczając. Rzutowany na oś y zbór wartości tej funkcji (2, 4>.

 

\(Z_{wf}=(2, 4>\)

Przykład 3

Polecenie:

 

Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem \(f(x)=\frac{2x+3}{x-1}\).

 

Wyjaśnienie:

 

Wartość ułamka można określić tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera (nie dzielimy przez 0!).

 

Otrzymujemy więc:

 

\(x-1 \neq 0\)

\(x \neq 1\)

\(D_{f} = \mathbb{R}-\{1\}\)

Przykład 4

Polecenie:

 

Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem \(f(x)=\sqrt{2x-3}\).

 

Wyjaśnienie:

 

Pierwiastek kwadratowy można wyznaczyć tylko z liczby nieujemnej.

 

Otrzymujemy więc:

 

\(2x-3 \geq 0\)

 

\(2x \geq 3\;\;\;/:2\)

 

\(x \geq \frac{3}{2}\)

 

\(D_{f}=<\frac{3}{2},\;\infty)\)