Definicja funkcji liniowej
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\).
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji.
Współczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi kąta między prostą będącą wykresem funkcji, a dodatnią półosią OX.
- Jeśli znamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji liniowej \(A=(x_A, y_A), \;\;B=(x_B, y_B)\), to współczynnik kierunkowy funkcji możemy obliczyć ze wzoru:
\(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
- Jeśli \(a \neq0\), to funkcja \(f(x)=ax+b\) ma jedno miejsce zerowe \(x_0=-\frac{b}{a}\).
- Wykres funkcji liniowej przecina oś OY w punkcie o współrzędnych \((0, b)\).
Przykład 1
Polecenie:
Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty \(A=(1, \;2)\) i \(B=(2,\;5)\).
I sposób
Wyznaczmy współczynnik kierunkowy funkcji korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy:
\(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
\(a=\frac{5-2}{2-1}=\frac{3}{1}=3\)
Teraz wyznaczymy współczynnik \(b\) podstawiając do ogólnego wzoru funkcji liniowej wyznaczoną wartość współczynnika \(a\) oraz współrzędne jednego z punktów należącego do wykresu funkcji, np. \(A\).
\(f(x)=ax+b\)
\(2=3 \cdot1+b\)
\(2=3+b\)
\(b=-1\)
Teraz możemy zapisać wzór funkcji wstawiając wyznaczone wartości współczynników \(a\) i \(b\): \(f(x)=3x-1\).
II sposób
Wstawiamy współrzędne każdego z punktów \(A\) i \(B\) do wzoru ogólnego funkcji liniowej otrzymując dwa równania:
\(A\): \(2=a \cdot1+b\)
\(B\): \(5=a \cdot2+b\)
Teraz rozwiązujemy układ równań:
\(\left\{ \begin{array}{rcl} 2=a+b\;\;\;\;\;/ \cdot(-1) \\ 5=2a+b \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array}\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcl} -2=-a-b \\ 5=2a+b\; \end{array}\right.\)
Po dodaniu stronami obu równań otrzymujemy:
\(3=a\)
Aby wyznaczyć współczynnik \(b\) wstawiamy wyznaczoną wartość \(a\) do dowolnego równania, np. pierwszego:
\(2=3+b\)
\(-1=b\)
Teraz możemy zapisać wzór funkcji wstawiając wyznaczone wartości współczynników \(a\) i \(b\): \(f(x)=3x-1\).
Przykład 2
Polecenie:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji \(f(x) = -2x+5\).
I sposób
Obliczamy miejsce zerowe korzystając ze wzoru \(x_0=-\frac{b}{a}\).
\(x_0=-\frac{5}{-2}\)
\(x_0=2\frac{1}{2}\) - miejsce zerowe
II sposób
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0, więc możemy obliczyć miejsce zerowe za pomocą równania:
\(-2x+5=0\)
\(-2x=-5\;\;\;/:(-2)\)
\(x=2\frac{1}{2}\) - miejsce zerowe