Definicja funkcji liniowej

Funkcj─ů liniow─ů nazywamy funkcj─Ö okre┼Ťlon─ů wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\).

 

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Liczb─Ö \(a\) nazywamy wspó┼éczynnikiem kierunkowym funkcji.

 

Wspó┼éczynnik kierunkowy funkcji jest równy tangensowi k─ůta mi─Ödzy prost─ů b─Öd─ůc─ů wykresem funkcji, a dodatni─ů pó┼éosi─ů OX.

 

 

Funkcja liniowa f(x) z wyznaczonem kontem α wzgl─Ödem osi x. Podpisana: a = tg(α).

 

 

- Je┼Ťli znamy wspó┼érz─Ödne dwóch punktów nale┼╝─ůcych do wykresu funkcji liniowej \(A=(x_A, y_A), \;\;B=(x_B, y_B)\), to wspó┼éczynnik kierunkowy funkcji mo┼╝emy obliczy─ç ze wzoru:

 

\(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

 

 

- Je┼Ťli \(a \neq0\), to funkcja \(f(x)=ax+b\) ma jedno miejsce zerowe \(x_0=-\frac{b}{a}\).

 

- Wykres funkcji liniowej przecina o┼Ť OY w punkcie o wspó┼érz─Ödnych \((0, b)\).

 

Przykład 1

Polecenie:

 

Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedz─ůc, ┼╝e do jej wykresu nale┼╝─ů punkty \(A=(1, \;2)\) i \(B=(2,\;5)\).

 

 

 

I sposób

 

 

Wyznaczmy wspó┼éczynnik kierunkowy funkcji korzystaj─ůc ze wzoru na wspó┼éczynnik kierunkowy:

 

\(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).

 

\(a=\frac{5-2}{2-1}=\frac{3}{1}=3\)

 

 

Teraz wyznaczymy wspó┼éczynnik \(b\) podstawiaj─ůc do ogólnego wzoru funkcji liniowej wyznaczon─ů warto┼Ť─ç wspó┼éczynnika \(a\) oraz wspó┼érz─Ödne jednego z punktów nale┼╝─ůcego do wykresu funkcji, np. \(A\).

 

\(f(x)=ax+b\)

\(2=3 \cdot1+b\)

\(2=3+b\)

\(b=-1\)

 

 

Teraz mo┼╝emy zapisa─ç wzór funkcji wstawiaj─ůc wyznaczone warto┼Ťci wspó┼éczynników \(a\) i \(b\): \(f(x)=3x-1\).

 

 

 

II sposób

 

 

Wstawiamy wspó┼érz─Ödne ka┼╝dego z punktów \(A\) i \(B\) do wzoru ogólnego funkcji liniowej otrzymuj─ůc dwa równania:

 

\(A\)\(2=a \cdot1+b\)

\(B\)\(5=a \cdot2+b\)

 

 

Teraz rozwi─ůzujemy uk┼éad równa┼ä:

 

\(\left\{ \begin{array}{rcl} 2=a+b\;\;\;\;\;/ \cdot(-1) \\ 5=2a+b \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array}\right.\)

 

 

\(\left\{ \begin{array}{rcl} -2=-a-b \\ 5=2a+b\; \end{array}\right.\)

 

 

Po dodaniu stronami obu równa┼ä otrzymujemy:

\(3=a\)

 

 

Aby wyznaczy─ç wspó┼éczynnik \(b\) wstawiamy wyznaczon─ů warto┼Ť─ç \(a\) do dowolnego równania, np. pierwszego:

\(2=3+b\)

\(-1=b\)

 

 

Teraz mo┼╝emy zapisa─ç wzór funkcji wstawiaj─ůc wyznaczone warto┼Ťci wspó┼éczynników \(a\) i \(b\): \(f(x)=3x-1\).

 

 

Przykład 2

Polecenie:

 

Wyznacz miejsce zerowe funkcji \(f(x) = -2x+5\).

 

 

I sposób

 

 

Obliczamy miejsce zerowe korzystaj─ůc ze wzoru \(x_0=-\frac{b}{a}\).

 

\(x_0=-\frac{5}{-2}\)

\(x_0=2\frac{1}{2}\) - miejsce zerowe

 

 

II sposób

 

 

Miejsce zerowe to argument, dla którego warto┼Ť─ç funkcji wynosi 0, wi─Öc mo┼╝emy obliczy─ç miejsce zerowe za pomoc─ů równania:

 

\(-2x+5=0\)

\(-2x=-5\;\;\;/:(-2)\)

\(x=2\frac{1}{2}\) - miejsce zerowe